Question

26、如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：EO=FO；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？為什么？
（3）△ABC進(jìn)行怎樣的變化才能使AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形？為什么？

Answer 1

分析：（1）由已知MN∥BC得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，根據(jù)等量代換可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，分別根據(jù)“等角對(duì)等邊”得證；
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，則由EO=CO=FO=AO，根據(jù)對(duì)角線互相平分且相等的四邊形為矩形得證；
（3）由已知和（2）得到的結(jié)論，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，則推出四邊形AECF是矩形且對(duì)角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．

解答：解（1）∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴EO=FO；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．
∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，
又EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴AO=BO=CO=DO，
∴AO+OC=EO+OF，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形；
（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．
∵由（2）知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，
已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形和矩形的判定及角平分線的定義，屬于探究條件型題，即在條件不充分的情況下，探究所缺少的條件，解答這類試題可采用“逆向思維”，視結(jié)論為題設(shè)，尋找必要條件，往往缺少的就是那個(gè)條件，同時(shí)注意三問(wèn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，注意運(yùn)用已經(jīng)推出的結(jié)論解決問(wèn)題．