Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AD垂直于過點(diǎn)C的切線，垂足為D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若AC=2 ，CD=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OC，

∵DC切⊙O于C，

∴OC⊥CF，

∴∠ADC=∠OCF=90°，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD

（2）解：連接BC．

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°=∠ADC，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴ ，

在Rt△ADC中，AC=2 ，CD=2，

∴AD=4，

∴ ，

∴AB=5．

【解析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)判斷出AD∥OC，得到∠DAC=∠OCA，再根據(jù)OA=OC得到∠OAC=∠OCA，可得AC平分∠BAD．（2）連接BC，得到△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的長．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用角平分線的性質(zhì)定理和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．