【題目】(如圖 1,若拋物線 l1 的頂點 A 在拋物線 l2 上,拋物線 l2 的頂點 B 也在拋物線 l1 上(點 A 與點 B 不重合).我們稱拋物線 l1,l2 互為“友好”拋物線,一條拋物線的“友 好”拋物線可以有多條.
(1)如圖2,拋物線 l3: 與y 軸交于點C,點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱,則點 D 的坐標為 ;
(2)求以點 D 為頂點的 l3 的“友好”拋物線 l4 的表達式,并指出 l3 與 l4 中y 同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍;
(3)若拋物線 y=a1(x-m)2+n 的任意一條“友好”拋物線的表達式為 y=a2(x-h)2+k, 寫出 a1 與a2的關系式,并說明理由.
【答案】(1);(2)的函數表達式為,;(3),理由詳見解析
【解析】
(1)設x=0,求出y的值,即可得到C的坐標,根據拋物線L3:得到拋物線的對稱軸,由此可求出點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標;
(2)由(1)可知點D的坐標為(4,1),再由條件以點D為頂點的L3的“友好”拋物線L4的解析式,可求出L4的解析式,進而可求出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍;
(3)根據:拋物線L1的頂點A在拋物線L2上,拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上,可以列出兩個方程,相加可得(a1+a2)(h-m)2=0.可得.
解:(1)∵拋物線l3:,
∴頂點為(2,-1),對稱軸為x=2,
設x=0,則y=1,
∴C(0,1),
∴點C關于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標為:(4,1);
(2)解:設的函數表達式為
由“友好”拋物線的定義,過點
的函數表達式為
與中同時隨增大而增大的自變量的取值范圍是
(3)
理由如下:
∵ 拋物線與拋物線互為“友好”拋物線,
①+②得:
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l的函數表達式為y=x,點O1的坐標為(1,0),以O1為圓心,O1O為半徑畫圓,交直線l于點P1,交x軸正半軸于點O2,以O2為圓心,O2O為半徑畫圓,交直線l于點P2,交x軸正半軸于點O3,以O3為圓心,O3O為半徑畫圓,交直線l于點P3,交x軸正半軸于點O4;…按此做法進行下去,其中的長為_____.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某高中進行“選科走班”教學改革,語文、數學、英語三門為必修學科,另外還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理(分別記為A、B、C、D、E、F)六門選修學科中任選三門,現對該校某班選科情況進行調查,對調查結果進行了分析統(tǒng)計,并制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據以上信息,完成下列問題:
(1)該班共有學生人;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)該班某同學物理成績特別優(yōu)異,已經從選修學科中選定物理,還需從余下選修學科中任意選擇兩門,請用列表或畫樹狀圖的方法,求出該同學恰好選中化學、歷史兩科的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是弧AB的中點,弦CD與AB相交于E.
(1)若∠AOD=45°,求證:CE=ED;(2)若AE=EO,求tan∠AOD的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,圓形紙片⊙O半徑為 5,先在其內剪出一個最大正方形,再在剩余部分剪出 4個最大的小正方形,則 4 個小正方形的面積和為_______.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,一位籃球運動員在離籃圈水平距離4處跳起投籃,球運行的高度()與運行的水平距離()滿足解析式,當球運行的水平距離為1.5時,球離地面高度為3.3,球在空中達到最大高度后,準確落入籃圈內.已知籃圈中心離地面距離為3.05.
(1)當球運行的水平距離為多少時,達到最大高度?最大高度為多少?
(2)若該運動員身高1.8,這次跳投時,球在他頭頂上方0.25處出手,問球出手時,他跳離地面多高?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線是線段的垂直平分線,交線段于點,在下方的直線上取一點,連接,以線段為邊,在上方作正方形,射線交直線于點,連接.
(1)設,求的度數;
(2)寫出線段、之間的等量關系,并證明.
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