Question

如圖，ON為∠AOB中的一條射線，點P在邊OA上，PH⊥OB于H，交ON于點Q，PM∥OB交ON于點M，MD⊥OB于點D，QR∥OB交MD于點R，連接PR交QM于點S．
（1）求證：四邊形PQRM為矩形；
（2）若OP=

1

2

PR，試探究∠AOB與∠BON的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行可得PH∥MD，再根據(jù)平行于同一直線的兩直線平行可得PM∥QR，然后求出四邊形PQRM是平行四邊形，再求出∠MPQ=90°，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可；
（2）根據(jù)矩形的對角線互相平分可得PS=

1

2

PR，然后求出OP=PS，根據(jù)等邊對等角的性質可得∠POS=∠PSO，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠SQR=∠BON，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠PSO=2∠SQR，然后整理即可得解．

解答：（1）證明：∵PH⊥OB，MD⊥OB，
∴PH∥MD，
∵PM∥OB，QR∥OB，
∴PM∥QR，
∴四邊形PQRM是平行四邊形，
∵PH⊥OB，
∴∠PHO=90°，
∵PM∥OB，
∴∠MPQ=∠PHO=90°，
∴四邊形PQRM為矩形；

（2）解：∠AOB=3∠BON．理由如下：
∵四邊形PQRM為矩形，
∴PS=SR=SQ=

1

2

PR，
∴∠SQR=∠SRQ，
又∵OP=

1

2

PR，
∴OP=PS，
∴∠POS=∠PSO，
∵QR∥OB，
∴∠SQR=∠BON，
在△SQR中，∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠SQR=2∠BON，
∴∠POS=2∠BON，
∴∠AOB=∠POS+∠BON=2∠BON+∠BON=3∠BON，
即∠AOB=3∠BON．

點評：本題考查了矩形的判定與性質，等邊對等角的性質，兩直線平行，同位角相等的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．