Question

（2012•廣陵區(qū)二模）如圖，面積為39的直角梯形OABC的直角頂點C在x軸上，點C坐標為（8

2

，0），AB=5

2

，點D是AB邊上的一點，且AD：BD=2：3．有一45°的角的頂點E在x軸上運動，角的一邊過點D，角的另一邊與直線OA交于點F（點D、E、F按順時針排列），連接DF．設CE=x，OF=y．
（1）求點D的坐標及∠AOC的度數(shù)；
（2）若點E在x軸正半軸上運動，求y與x的函數(shù)關系式；
（3）在點E的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△DEF成為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作AH⊥OC于H，就可以得出四邊形AHCB是矩形，由矩形的性質就可以得出AB=CH，AH=BC，設BC=x，由梯形的面積公式建立方程就可以求出BC的值，就可以求出OH的值，就可以得出∠AOH的值，再根據(jù)比例問題就可以求出AD、DB的值就可以得出D的坐標；
（2）分為兩種情況，當E在OC上時，連接CD，通過證明△OEF∽△CDE，由相似三角形的性質可以得出結論，當E在C的右側上時，如圖3，連接CD，證明△OEF∽△CDE，由相似三角形的性質可以得出結論；
（3）當E在OC上時，如圖4，當EM=ED，在△OEF和△CDE中，由△OEF≌△CDE可以得出結論，若DF=DE，則∠EDF=Rt∠，如圖5，作EG⊥AB于G，F(xiàn)H⊥AB交BA的延長線于點H，由△DFH≌△EDG可以得出結論，F(xiàn)D=FE，則∠DFE=Rt∠，如圖過F作FN⊥OC于點N交直線AB于點H，由△HDF≌△NFE可以得出結論，當E在C的右側時，如圖7，∠DEM=45°，∠DFE＜45°，∠FDE＞45°△DEM不可能是等腰三角形，當E在O的左側時，如圖8，由點D、E、F要按順時針排列，E在O的左側不存在．故得出結論．

解答：解：（1）作AH⊥OC于H，設BC=x，
∴四邊形AHCB是矩形，∠AHO=90°，
∴AH=BC，AB=HC．
∵AB=5

2

，
∴HC=5

2

，．
∵C坐標為（8

2

，0），
∴OC=8

2

，
∴OH=3

2

．
∴

(8 2 +5 2 )x

2

=39，
∴x=3

2

．
∴AH=BC=3

2

，
∴OH=AH，
∴∠AOH=45°．
∵AD：BD=2：3．設每份為a，則AD=2a，BD=3a，
∴2a+3a=5

2

，
∴a=

2

，
∴AD=2

2

，BD=3

2

，
∴D（8

2

-3

2

，3

2

）
即D(5

2

，3

2

)，
答：D（5

2

，3

2

），∠AOC=45°；

（2）當E在OC上時，如圖2，連接CD，
∵∠DEF=45°，
∴∠OEF+∠DEC=135°．
∵∠AOE=45°，
∴∠OFE+∠OEF=135°，
∴∠OFE=∠DEC．
∵DB=CB=3

2

，
∴∠DCB=∠BDC=45°，CD=6．
∴∠DCO=45°，
∴∠FOE=∠ECD
∴△OEF∽△CDE
∴

OF

OE

=

CE

CD

，
∴

y

8 2 -x

=

x

6

∴y=-

x 2

6

+

4 2

3

x；
當E在C的右側上時，如圖3，連接CD，
∵AB∥OC，
∴∠BDC=∠CEO．
∵∠BDC=∠DEF=45°，
∴∠BDC-∠BDC=∠DEF-∠DEO
即∠CDE=∠OEF，
∵∠FOE=∠DCE=135°，
∴△OEF∽△CDE
∴

OF

OE

=

CE

CD

，
∴

y

8 2 +x

=

x

6

，
∴y=

x 2

6

+

4 2

3

x；
（3）當E在OC上時，如圖4，
若EF=ED，
∵在△OEF和△CDE中，

∠FOE=∠ECD ∠OFE=∠CED FE=ED

，
∴△OEF≌△CDE（AAS）
∴OE=CD=6，CE=8

2

-6，
∴OF=CE=8

2

-6，作FN⊥OC于點N
∴ON=FN=8-3

2

，
∴F(8-3

2

，8-3

2

)；
若DF=DE，則∠EDF=Rt∠，如圖5，
作EG⊥AB于G，F(xiàn)H⊥AB交BA的延長線于點H，
∴∠FHA=∠EGD=90°．
∵∠FDH+∠EDG=90°，∠EDG+∠DEG=90°，
∴∠FDH=∠DEG．
∵在△DFH和△EDG中，

∠FHA=∠EGD ∠FDH=∠DEG DF=DE

，
∴△DFH≌△EDG（AAS），
∴DH=EG=3

2

，
∴HA=HF=

2

，
∴H(2

2

，3

2

)，
F(2

2

，2

2

)
若FD=FE，則∠DFE=Rt∠，如圖過F作FN⊥OC于點N交直線
AB于點H，
∴∠AHF=∠FNE=90°．
∵∠DFE=90°，
∴∠HFD=∠NEF．
∵在△HDF和△NFE中

∠AHF=∠FNE ∠HFD=∠NEF FD=FE

，
∴△HDF≌△NFE（AAS），
∴HD=FN．
設ON=x，則FN=x，F(xiàn)H=3

2

-x，DH=5

2

-x
∴x=5

2

-x，
∴x=

5

2

2

，
∴F(

5

2

2

，

5

2

2

)
當E在C的右側時，如圖7，∠DEM=45°，∠DFE＜45°，∠FDE＞45°
∴△DEM不可能是等腰三角形
當E在O的左側時，如圖8，
∵點D、E、F按順時針排列，
∴E在O的左側不存在．
綜合得：F₁(8-3

2

，8-3

2

)，F(xiàn)₂（2

2

，2

2

），F(xiàn)₃(

5

2

2

，

5

2

2

)．

點評：本題考查了直角梯形的性質的運用，等腰直角三角形的性質的運用，梯形的面積公式的運用，相似三角形的判定及性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，分類討論思想的運用，解答本題是認真審題，全面考慮是關鍵．要求學生要有較強的分析能力．