Question

【題目】如圖1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E．

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）1.

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DO=DA，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DAO=∠DOA=30°，進(jìn)而算出∠AEO=60°，再證明BC∥AE，CO∥AB，進(jìn)而證出四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）設(shè)OG=x，由折疊可得：AG=GC=8-x，再利用三角函數(shù)可計(jì)算出AO，再利用勾股定理計(jì)算出OG的長(zhǎng)即可．

試題解析：（1）∵Rt△OAB中，D為OB的中點(diǎn)，

∴AD=OB，OD=BD=OB

∴DO=DA，

∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，

∴∠AEO=60°，

又∵△OBC為等邊三角形，

∴∠BCO=∠AEO=60°，

∴BC∥AE，

∵∠BAO=∠COA=90°，

∴CO∥AB，

∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）設(shè)OG=x，由折疊可得：AG=GC=8-x，

在Rt△ABO中，

∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，

∴AO=BOcos30°=8×=4，

在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，

x2+（4）2=（8-x）2，

解得：x=1，

∴OG=1．