Question

觀察下列各式：6²-4²=4×5，11²-9²=4×10，17²-15²=4×16，…，
（1）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？試用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：51²-49²=4×

50

；75²-73²=4×．
（2）請你用含一個字母的等式將上面各式呈現(xiàn)的規(guī)律表示出來，并用所學(xué)數(shù)學(xué)知識說明你所寫式子的正確性．
寫出等式：

（n+2）²-n²=4（n+1）

證明：
（3）計算乘積(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

20112

)(1-

1

20122

)等于

2013

4024

．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為相差為2的平方差等于這兩數(shù)之間數(shù)的4倍，即可得到所求的結(jié)果；
（2）用字母表示出總結(jié)的規(guī)律，證明即可；
（3）利用平方差公式將所求每一個因式變形，計算即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為：相差為2的平方差等于這兩數(shù)之間數(shù)的4倍，
則51²-49²=4×50；75²-73²=4×74；
（2）得到的規(guī)律為：（n+2）²-n²=4（n+1），
證明：等式左邊=n²+4n+4-n²=4n+4，右邊=4n+4，
則左邊=右邊，故原等式成立；
（3）原式=（1+

1

2

）（1-

1

2

）（1+

1

3

）（1-

1

3

）…（1+

1

2012

）（1-

1

2012

）
=（

3

2

×

4

3

×…

2013

2012

）×（

1

2

×

2

3

×…×

2011

2012

）=

2013

2

×

1

2012

=

2013

4024

．
故答案為：（1）50；74；（2）（n+2）²-n²=4（n+1）；（3）

2013

4024

點評：此題考查了分式混合運算的應(yīng)用，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．