Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由．

Answer 1

（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵CF是∠BCA的外角平分線，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；

（2）△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．
∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．
已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．

（3）不可能．
如圖所示，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACD=

1

2

（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在兩個(gè)角為90°，所以不存在其為菱形．