Question

如圖，正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△AOM的面積為1，點(diǎn)B（-1，t）為反比例函數(shù)在第三象限圖象上的點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）試求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在y軸上求一點(diǎn)P，使|PA-PB|的值最大．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（m，n），A在正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象上，可得到n=

1

2

m，進(jìn)而得到A（m，

1

2

m），再根據(jù)△AOM的面積為1，可以求出m的值，進(jìn)而得到A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法算出反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)解析式，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入即可算出t的值，進(jìn)而得到B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線y的對(duì)稱點(diǎn)A′，作直線A′B交y于P點(diǎn)，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）設(shè)A（m，n），
∵A在正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象上，
∴n=

1

2

m，
∴A（m，

1

2

m），
∴AM=

1

2

m，OM=m，
∵△AOM的面積為1，
∴

1

2

×

1

2

m×m=1，
解得：m=±2，
∵A在第一象限，
∴m=2，
∴A（2，1），
∵A點(diǎn)在反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函數(shù)關(guān)系式為：y=

2

x

；

（2）∵點(diǎn)B（-1，t）為反比例函數(shù)y=

2

x

在第三象限圖象上的點(diǎn)，
∴t=

2

-1

=-2，
∴B（-1，-2）；

（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線y的對(duì)稱點(diǎn)A′，作直線A′B交y于P點(diǎn)，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，
∵A（2，1），
∴A′（-2，1），
設(shè)A′B的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∵圖象過(guò)A′（-2，1），B（-1，-2），
∴

-2k+b=1 -k+b=-2

，
解得：

k=-3 b=-5

，
∴A′B的函數(shù)解析式為y=-3x-5，
∴P（0，-5 ）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，最短線路問(wèn)題，解答此題的難點(diǎn)是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫(huà)出圖形，再由兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)求解．