Question

（2011•海南）如圖，已知拋物線y=﹣x²+bx+9﹣b²（b為常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)E．其頂點(diǎn)M在第一象限．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸上方，且在其對稱軸左側(cè)的一個動點(diǎn)；過點(diǎn)A作x軸的平行線交該拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于點(diǎn)B．DE⊥x軸于點(diǎn)C．
①當(dāng)線段AB、BC的長都是整數(shù)個單位長度時，求矩形ABCD的周長；
②求矩形ABCD的周長的最大值，并寫出此時點(diǎn)A的坐標(biāo)；
③當(dāng)矩形ABCD的周長取得最大值時，它的面積是否也同時取得最大值？請判斷井說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意代入原點(diǎn)到二次函數(shù)式
則9﹣b²=0，
解得b=±3，
由題意拋物線的對稱軸大于0，
，
所以b=3，
所以解析式為y=﹣x²+3x；
（2）根據(jù)兩個三角形相似的條件，由于在△ECD中，∠ECD=60°，
若△BCP與△ECD相似，則△BCP中必有一個角為60°，
下面進(jìn)行分類討論：
①當(dāng)P點(diǎn)直線CB的上方時，由于△PCB中，∠CBP＞90°或∠BCP＞90°，
∴△PCB為鈍角三角形，
又∵△ECD為銳角三角形，
∴△ECD與△CPB不相似．
從而知在直線CB上方的拋物線上不存在點(diǎn)P使△CPB與△ECD相似；
②當(dāng)P點(diǎn)在直線CB上時，點(diǎn)P與C點(diǎn)或B點(diǎn)重合，不能構(gòu)成三角形，
∴在直線CB上不存在滿足條件的P點(diǎn)；
③當(dāng)P點(diǎn)在直線CB的下方時，若∠BCP=60°，則P點(diǎn)與E₁點(diǎn)重合，
此時，∠ECD=∠BCE₁，而，
∴，
∴△BCE與△ECD不相似，
若∠CBP=60°，則P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，
根據(jù)拋物線的對稱性，同理可證△BCA與△CED不相似，
若∠CPB=60°，假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P使△CPB與△ECD相似，
∴EF=sin60°×4=2，F(xiàn)D=1，
∴ED==，
∴當(dāng)矩形ABCD的周長取得最大值時，它的面積能同時取得最大值．解析:
略