Question

小明和幾位同學(xué)做手的影子游戲時，發(fā)現(xiàn)對于同一物體，影子的大小與光源到物體的距離有關(guān)．因此，他們認(rèn)為：可以借助物體的影子長度計算光源到物體的位置．于是，他們做了以下嘗試．

（1）如圖1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，邊長AB為30cm，在其正上方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A′B，D′C的長度和為6cm．那么燈泡離地面的高度為______．
（2）不改變圖1中燈泡的高度，將兩個邊長為30cm的正方形框架按圖2擺放，請計算此時橫向影子A′B，D′C的長度和為多少？
（3）有n個邊長為a的正方形按圖3擺放，測得橫向影子A′B，D′C的長度和為b，求燈泡離地面的距離．（寫出解題過程，結(jié)果用含a，b，n的代數(shù)式表示）

Answer 1

（1）設(shè)燈泡離地面的高度為xcm，
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，可得

AD

A′D′

=

PN

PM

，
∴

30

36

=

x-30

x

，
解得x=180．（4分）

（2）設(shè)橫向影子A′B，D′C的長度和為ycm，
同理可得∴

60

60+y

=

150

180

，
解得y=12cm；（3分）

（3）記燈泡為點P，如圖：
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，可得

AD

A′D′

=

PN

PM

（1分）
（直接得出三角形相似或比例線段均不扣分）
設(shè)燈泡離地面距離為x，由題意，得PM=x，PN=x-a，AD=na，A′D′=na+b，
∴

na

na+b

=

x-a

x

=1-

a

x

a

x

=1-

na

na+b

x=

na2+ab

b

（1分）．