Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4．過點A作AE⊥AB且AB=AE，過點E分別作EF⊥AC，ED⊥BC，分別交AC和BC的延長線與點F，D．若FC=5，求四邊形ABDE的周長．

Answer 1

【答案】分析：首先證明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的長，進而得出四邊形EFCD是矩形，求出四邊形ABDE的周長即可．
解答：解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，
∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠2．                  
∵EF⊥AC，
∴∠4=∠5=90°．
∴∠3=∠4．
在△ABC和△EAF中，
∵，
∴△ABC≌△EAF（AAS）． 
∴BC=AF，AC=EF．
∵BC=4，
∴AF=4．
∵FC=5，
∴AC=EF=9．
在Rt△ABC中，AB===．
∴AE=．
∵ED⊥BC，
∴∠7=∠6=∠5=90°．
∴四邊形EFCD是矩形．
∴CD=EF=9，ED=FC=5．
∴四邊形ABDE的周長=AB+BD+DE+EA=+4+9+5+=18+2．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定與性質和勾股定理等知識，根據已知得出AC=EF=9是解題關鍵．