Question

如圖①，已知△ABC中，AB=AC，點P是BC上的一點，PN⊥AC于點N，PM⊥AB于點M，CG⊥AB于點G，則CG=PM+PN．
（1）如圖②，若點P在BC的延長線上，則PM、PN、CG三者是否還有上述關系，若有，請說明理由，若沒有，猜想三者之間又有怎樣的關系，并證明你的猜想；
（2）如圖③，AC是正方形ABCD的對角線，AE=AB，點P是BE上任一點，PN⊥AB于點N，PM⊥AC于點M，猜想PM、PN、AC有什么關系；（直接寫出結論）
（3）觀察圖①、②、③的特性，請你根據這一特性構造一個圖形，使它仍然具有PM、PN、CG這樣的線段，并滿足圖①或圖②的結論，寫出相關題設的條件和結論
．

Answer 1

（1）猜想CG=PM-PN
證明：過C點作CE⊥PM于E
∵PN⊥AB，CG⊥AB
∴四邊形CGME是矩形
∴ME=CG，CE∥AB
∴∠B=∠ECP
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB=∠PCN
∴∠ECP=∠PCN
∵∠PNC=∠PEC=90°，PC=PC
∴△PNC≌△PEC
∴PN=PE
∴CG=ME=PM-PE=PM-PN．

（2）PM+PN=AC
證明：連接BD，交AC于O，過點P作PF⊥BD于F
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠COB=90°，OB=OC=AC
∵PM⊥AC
∴四邊形PFOM為矩形
∴MP=OF，PF∥AC
∴∠OEP=∠FPB
∵AE=AB
∴∠OEP=∠ABP
∴∠ABP=∠FPB
∵PB=PB，∠PFB=∠PNB=90°
∴△PFB≌△BNP
∴BF=PN
∴OB=OF+FB=PM+PN=AC．

（3）點P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點，點P到兩腰的距離的和（或差）等于這個等腰三角形腰上的高．
如圖③，④都有BG=PM+PN，如圖⑤CG=PM-PN．
分析：（1）猜想CG=PM-PN．過C點作CE⊥PM于E，則根據已知條件容易證明四邊形CGME是矩形，然后根據矩形的性質可以得到
∠ECP=∠PCN，而∠PNC=∠PEC=90°，PC公共，可以證明△PNC≌△PEC，再根據全等三角形的性質就可以證明猜想的結論；
（2）PM+PN=AC．連接BD，交AC于O，過點P作PF⊥BD于F，由于AE=AB，根據（1）可以得到PM+PN=BO=BD=AC；
（3）點P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點，點P到兩腰的距離的和（或差）等于這個等腰三角形腰上的高．如圖③，④都有BG=PM+PN．如圖⑤CG=PM-PN．證明過程也是利用（1）的結論得到CG=PM-PN．
點評：此題主要考查了等腰三角形的一個結論：點P是等腰三角形底邊所在直線上的任意一點，點P到兩腰的距離的和（或差）等于這個等腰三角形腰上的高，然后把這個結論放在不同的圖形背景中，進行圖形變換，無論變換成什么圖形，但結論還是一樣．