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在△ABC中,BD是△ABC的中線,點P為BD上一點,且BP=2PD,過點P作MN∥BC交AB于點M,交AC于點N.
(1)如圖一,若BA=BC,寫出圖中所有與PM相等的線段,并分別給出證明;
(2)如圖二,過BA≠BC,在(1)中與PM相等的線段中找出一條仍然與PM相等的線段,并給出證明.

【答案】分析:(1)首先過點M作ME∥AC,由在△ABC中,BD是△ABC的中線,BA=BC,根據三線合一的性質,可得BD是高,是角平分線,又由MN∥BC,易證得△PMB是等腰三角形,即可得PM=BM,然后證得PE=PD,即可證得△PME≌△PND,繼而證得PM=PN;
(2)首先過點M作ME∥AC,根據平行線分線段成比例定理,易證得ME=DN=CD,則可證得△PME≌△PND,繼而證得PM=PN.
解答:解:(1)PM=PN=BM.
證明:過點M作ME∥AC,
∵BA=BC,BD是△ABC的中線,
∴BD⊥AB,∠ABD=∠CBD,
∴BD⊥ME,
∵MN∥BC,
∴∠CBD=∠MPB,
∴∠ABD=∠MPB,
∴PM=BM;
∴BE=PE=PB,
∵BP=2PD,
即PD=PB,
∴PD=PE,
在△PME和△PND中,

∴△PME≌△PND(AAS),
∴PM=PN.
∴PM=PN=BM.

(2)PM=PN.
證明:過點M作ME∥AC,

∵MN∥BC,

∵PB=2PD,
,
∴DN:DC=1:3,
即CD=3DN,
∵BD是△ABC的中線,
∴AD=CD,
∴CN:AC=1:3,
,
,
即AD=3EM,
∴CD=3EM,
∴EM=DN,
∵ME∥AC,
∴∠PME=∠PND,
在△PEM和△PDN中,
,
∴△PEM≌△PDN(AAS),
∴PM=PN.
點評:此題考查了平行線分線段成比例定理、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及平行線的性質等知識.此題綜合性較強,難度較大,解題的關鍵是準確作出輔助線,利用數形結合思想求解.
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23、如圖,在△ABC中,BD是∠ABC的平分線,DF⊥AB于F,DE⊥BC于E.求證BD⊥EF.

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(1)如圖2,在△ABC中,∠A=100°,∠C=50°,BD是∠ABC的角平分線,請你判斷并寫出AB、AD、BC之間的數量關系
BC=AB+AD
BC=AB+AD

(2)如圖3,在△ABC中,∠C=40°,而(1)中的其他條件不變,請你判斷AD、BD、BC之間的數量關系并證明.

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