Question

已知關(guān)于x的一元二次方程

1

2

x2+(m-2)x+2m-6=0．
（1）求證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)m＜3時(shí)，關(guān)于x的二次函數(shù)y=

1

2

x2+(m-2)x+2m-6的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且2AB=3OC，求m的值；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥x軸，將二次函數(shù)圖象在y軸左側(cè)的部分沿直線l翻折，二次函數(shù)圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，記為G．請(qǐng)你結(jié)合圖象回答：當(dāng)直線y=

1

3

x+b與圖象G只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍．

Answer 1

（1）根據(jù)題意，得
△=（m-2）²-4×

1

2

×（2m-6）
=（m-4）²，
∵無(wú)論m為任何數(shù)時(shí)，都有（m-4）²≥0，即△≥0．
∴無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）由題意，得
當(dāng)y=0時(shí)，則

1

2

x2+(m-2)x+2m-6=0，
解得：x₁=6-2m，x₂=-2，
∵m＜3，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（-2，0），B（-2m+6，0），
∴OA=2，OB=-2m+6．
當(dāng)x=0時(shí)，y=2m-6，
∴C（0，2m-6），
∴OC=-（2m-6）=-2m+6．
∵2AB=3OC，
∴2（2-2m+6）=3（-2m+6），
解得：m=1；
（3）如圖，當(dāng)m=1時(shí)，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-x-4，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4）．
當(dāng)直線y=

1

3

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，可得b=-4，
當(dāng)直線y=

1

3

x+b（b＜-4）與函數(shù)y=

1

2

x²-x-4（x＞0）的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，得

1

3

x+b═

1

2

x²-x-4．
整理得：3x²-8x-6b-24=0，
∴△=（-8）²-4×3×（-6b-24）=0，
解得：b=-

44

9

．
結(jié)合圖象可知，符合題意的b的取值范圍為b＞-4或b＜-

44

9

．