Question

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個(gè)正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點(diǎn)F、G分別落在AC、AB上．

   Ⅰ．證明：△BDG≌△CEF；

Ⅱ．探究：怎樣在鐵片上準(zhǔn)確地畫(huà)出正方形．

小聰和小明各給出了一種想法，請(qǐng)你在Ⅱa和Ⅱb的兩個(gè)問(wèn)題中選擇一個(gè)你喜歡的問(wèn)題解答．

Ⅱa．小聰想：要畫(huà)出正方形DEFG，只要能計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)就能求出BD和CE的長(zhǎng)，從而確定D點(diǎn)和E點(diǎn)，再畫(huà)正方形DEFG就容易了．

設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為2 ，請(qǐng)你幫小聰求出正方形的邊長(zhǎng)(結(jié)果用含根號(hào)的式子表示，不要求分母有理化) ．

Ⅱb．小明想：不求正方形的邊長(zhǎng)也能畫(huà)出正方形． 具體作法是：

      ①在AB邊上任取一點(diǎn)G’，如圖作正方形G’D’E’F’；

②連結(jié)BF’并延長(zhǎng)交AC于F；

③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，則四邊形DEFG即為所求．

你認(rèn)為小明的作法正確嗎？說(shuō)明理由．

Answer 1

Ⅰ．證明：∵DEFG為正方形，

∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°

      ∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°

      ∴△BDG≌△CEF(AAS)

    Ⅱa．解法一：

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，作△ABC的高AH，

求得

由△AGF∽△ABC得：

解之得：(或)

解法二：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則

　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=，

∴

解之得：(或)

解法三：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，

則

由勾股定理得：

解之得：

Ⅱb．解：

 正確

由已知可知，四邊形GDEF為矩形

∵FE∥F’E’ ，

∴，

同理，

∴

又∵F’E’=F’G’，

∴FE=FG

因此，矩形GDEF為正方形