Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的動點（不與A、B重合），過M作MN∥BC交AC于點N，以MN為直徑作⊙O，設AM=x．
（1）用含x的代數式表示△AMN的面積S；
（2）M在AB上運動，當⊙O與BC相切時（如圖①），求x的值；
（3）M在AB上運動，當⊙O與BC相交時（如圖②），在⊙O上取一點P，使PM∥AC，連接PN，PM交BC于E，PN交BC于點F，設梯形MNFE的面積為y，求y關于x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）由已知條件證明△AMN∽△ABC（AA），然后根據相似三角形的對應邊成比例求得AN=

3

4

x，然后由三角形的面積公式求得用x的代數式表示的△AMN的面積S；
（2）設BC與⊙O相切于點D，連接AO、OD，則AO=OD=

1

2

MN．在直角三角形Rt△ABC中，根據勾股定理求得BC的值；然后根據相似三角形的性質求得OD；再過M作MQ⊥BC于Q，構建△BMQ∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例解得x的值；
（3）由已知條件證明四邊形AMPN是矩形，根據矩形的性質求得PN=AM=x；然后由平行四邊形BFNM的性質解得FN=8-x，PF=2x-8；最后利用相似三角形Rt△PEF∽Rt△ABC的性質求得S_△PEF值；最后利用“割補法”求得題型的面積．

解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C，
∴△AMN∽△ABC，
∴

AM

AB

=

AN

AC

，即

x

8

=

AN

6

，
∴AN=

3

4

x
∵AM⊥AN，
∴S△AMN=

1

2

•AM•AN=

1

2

•x•

3

4

x=

3

8

x2；

（2）設BC與⊙O相切于點D，連接AO、OD，則AO=OD=

1

2

MN，
在Rt△ABC中，BC=

AB2+BC2

=10，
又∵△AMN∽△ABC，
∴

AM

AB

=

MN

BC

，即

x

8

=

MN

10

，
∴MN=

5

4

x，
∴OD=

5

8

x；
過M作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD=

5

8

x；
則△BMQ∽△ABC，
∴

BM

BC

=

QM

AC

，
∴BM=

10× 5 8 x

6

=

25

24

x；
∵AB=AM+BM=

25

24

x+x=8，
∴x=

192

49

；

（3）∵∠A=90°，PM∥AC，∠MPN=90°，
∴四邊形AMPN是矩形，
∴PN=AM=x；
又∵四邊形BFNM是平行四邊形，
∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-（8-x）=2x-8，
又Rt△PEF∽Rt△ABC，
∴(

PF

AB

)2=

S△PEF

S△ABC

，
∴S△PEF=(

2x-8

8

)2•

1

2

×8×6=

3

2

(x-4)2，
∵S_△AMN=S_△PMN
∴S梯形MNFE=S△PMN-S△PEF=

3

8

x2-

3

2

(x-4)2=-

9

8

x2+12x-24（0≤x≤8）．

點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理及切線的性質．解答此題時，還借用了直徑所對的圓周角是直角的性質．