【題目】在正方形ABCD中,點(diǎn)H,E,F分別在邊AB,BC,CD上,AE⊥HF于點(diǎn)G.
(1)如圖1,求證:AE=HF;
(2)如圖2,延長(zhǎng)FH,交CB的延長(zhǎng)線于M,連接AC,交HF于N.若MB=BE,EC=2BE,求的值;
(3)如圖3,若AB=2,BH=DF,將線段HF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段MF,連接AM,則線段AM的最小值為 .(直接寫出結(jié)果)
【答案】(1)見解析;(2)=2;(3)AM的最小值為.
【解析】
(1)如圖1中,作HM⊥CD于M.證明△ABE≌△HMF(ASA),即可推出AE=HF.
(2)不妨設(shè)BE=BM=a,EC=2a,則AB=BC=CD=3a,CM=4a,推出tan∠BAE==,證明∠M=∠BAE,推出tan=,可得BH=a,CF=a,推出AH=AB﹣BH=3a﹣a=a,再利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.
(3)如圖3中,延長(zhǎng)BA到N,使得AN=AD,作MJ⊥AN于J,交CD的延長(zhǎng)線于K,作FQ⊥AB于Q,則四邊形BCFQ,四邊形ADKJ都是矩形,△FQH≌△FKM(AAS).想辦法證明tan∠N=2,推出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線NM,∠N是的定值,作AP⊥MN于P,根據(jù)垂線段最短可知:當(dāng)AM與AP重合時(shí),AM的值最小.
(1)證明:如圖1中,作HM⊥CD于M.
∴四邊形ABC都是正方形,
∴∠B=∠C=∠CMH=90°,AB=BC,
∴四邊形BCMH是矩形,
∴HM=BC=AB,
∵AE⊥HF,
∴∠AGH=∠AHM=90°,
∴∠BAE+∠AHG=90°,∠AHG+∠FHM=90°,
∴∠BAE=∠FHM,∵∠B=∠HMF=90°,
∴△ABE≌△HMF(ASA),
∴AE=HF.
(2)解:如圖2中,
∵EC=2BE,不妨設(shè)BE=BM=a,EC=2a,則AB=BC=CD=3a,CM=4a,
∴tan∠BAE==,
∵ABE=∠MGE=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,∠M+∠AEB=90°,
∴∠M=∠BAE,
∴tan=
∴BH=a,CF=a,
∴AH=AB﹣BH=3a﹣a=a,
∴CF∥AH,
∴△ANH∽△CNF,
∴===2.
(3)解:如圖3中,延長(zhǎng)BA到N,使得AN=AD,作MJ⊥AN于J,交CD的延長(zhǎng)線于K,作FQ⊥AB于Q,則四邊形BCFQ,四邊形ADKJ都是矩形,
∵∠QFH+∠QFM=∠KFM+∠QFM
∴∠QFH=∠KFM
∵∠FQH =∠FKM =90°,HF=MF
∴△FQH≌△FKM(AAS).
∴QK=KM,DF=AQ=BH,
∵KJ=AD=AB,
∴JM=AQ+BH=2AQ,
∵FK=FQ=JQ=AD=AN,
∴AQ=JN,
∴JM=2JN,
∴tan∠N==2,
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線NM,∠N是的定值,作AP⊥MN于P,
根據(jù)垂線段最短可知:當(dāng)AM與AP重合時(shí),AM的值最小,
∵tan∠N==2,設(shè)NP=x,AP=2x,
在Rt△APN中,則有22=x2+4x2,
解得x=(負(fù)根已經(jīng)舍棄),
∴PA=2x=,
∴AM的最小值為.
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(1)求此拋物線的解析式.
(2)若直線y=x+1與拋物線交于A、D兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)F,連接DE,求△DEF的面積.
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x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … | 0 | p | m | 3 | q | 0 | … |
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)表格中字母m= ;(直接寫出答案)
(3)在給定的直角坐標(biāo)系中,畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象;
(4)以上二次函數(shù)的圖象與x軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(不包括邊界),橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)共有 個(gè).(直接寫出結(jié)果)
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【題目】如圖,將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至正方形AB'C'D',邊B'C'交CD于點(diǎn)E.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,則DE的長(zhǎng)為_____.
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… | 0 | 1 | 2 | 3 | … | ||
… | 3 | 0 | 0 | m | … |
(1) 觀察上表可求得的值為________;
(2) 試求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
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(2)若CD=2,求BD的長(zhǎng).
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn), AD與過點(diǎn)C的直線互相垂直,垂足為點(diǎn)D,AD交⊙O于點(diǎn)E,AC平分∠DAB,連接CE,CB.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若AC=,CE=,求⊙O的半徑長(zhǎng).
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(1)求證:.
(2)求證:
(3)若,求的值.
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