Question

如圖①，點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)分別為（2，0）和（0，-4），將△A′B′O繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋90°轉(zhuǎn)后得△ABO，點(diǎn)A′的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A，點(diǎn)B′的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B。
（1）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線AB的解析式；
（2）將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊，（點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)D不與A，B重合）如圖②，使點(diǎn)B落在x軸上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，0），△CDE與△ABO重疊部分的面積為S。
i）試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）；
ii）當(dāng)x為何值時(shí)，S的面積最大？最大值是多少？
iii）是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△ADE為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1） ，
設(shè)直線AB的解析式，
則有，解得
∴直線AB的解析式為；
（2）i）①點(diǎn)E在原點(diǎn)和x軸正半軸上時(shí)，重疊部分是，
則

當(dāng)E與O重合時(shí)，，
∴
②當(dāng)E在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)F，則重疊部分為梯形，
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴
綜合①②得；
ii）①當(dāng)時(shí)，
∴ 對稱軸是x=4，
∵拋物線開口向上，
∴在中，S隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S的最大值=，
②當(dāng)時(shí)，
∴對稱軸是
∵拋物線開口向下，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值為，
∴綜合①②當(dāng)時(shí)，S有最大值為 
iii）存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)為和
詳解：①當(dāng)以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，作交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E，
∵
∴
∵
∴
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-1，0），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為
②當(dāng)以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，同樣有

∴
∴
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)，
綜合①②知滿足條件的坐標(biāo)有和。