Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=10，CD=15，E是邊CD上一點(diǎn)，且DE=5，P是射線AD上一動點(diǎn)，過A，P，E三點(diǎn)的⊙O交直線AB于點(diǎn)F，連結(jié)PE，EF，PF，設(shè)AP=m．

（1）當(dāng)m=6時(shí)，求AF的長．

（2）在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動過程中．

①tan∠PFE的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的變化范圍．

②當(dāng)矩形ABCD恰好有2個(gè)頂點(diǎn)落在⊙O上時(shí)，求m的值．

（3）若點(diǎn)A，H關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，連結(jié)EH，CH．當(dāng)△CEH是等腰三角形時(shí)，求出所有符合條件的m的值．（直接寫出答案即可）

Answer 1

【答案】(1)13;(2)① tan∠PFE的值不變, tan∠PFE=;②m=5;(3) 滿足條件的m的值為10﹣5或10﹣2或或10+3

【解析】

（1）做輔助線，根據(jù)勾股定理，相似成比例求值.（2）根據(jù)幾何關(guān)系和應(yīng)用公式進(jìn)而得出tan∠PFE的值不變，再根據(jù)題干的特殊條件求出m.（3）根據(jù)幾何關(guān)系多次利用勾股定理求解.

（1）如圖1中，連接AE．

在Rt△DPE中，∵DE=5，DP=AD﹣AP=4，

∴PE==，

在Rt△ADE中，AE==5，

∵∠PAF=90°，

∴PF是⊙O的直徑，

∴∠PEF=∠ADF=90°，

∵∠DAE=∠PFE，

∴△ADE∽△FEP，

∴=，

∴=，

∴PF=，

在Rt△PAF中，AF===13．

（2）①tan∠PFE的值不變．

理由：如圖1中，∵∠PFE=∠DAE，

∴tan∠PFE=tan∠DAF==．

②如圖2中，當(dāng)⊙O經(jīng)過A、D時(shí)，點(diǎn)P與D重合，此時(shí)m=10．

如圖3中，當(dāng)⊙O經(jīng)過A、B時(shí)，

在Rt△BCE中，BE==10，

∵tan∠PFE=，

∴PE=5，

∴PD==5，

∴m=PA=5．

如圖4中當(dāng)⊙O經(jīng)過AC時(shí)，作FM⊥DC交DC的延長線于M．

根據(jù)對稱性可知，DE=CM=BF=5，

在Rt△EFM中，EF==5，

∴PE=EF=，

∴PD==，

∴m=AD﹣PD=，

綜上所述，m=10或5或時(shí)，矩形ABCD恰好有2個(gè)頂點(diǎn)落在⊙O上

（3）如圖5中，當(dāng)EC=CH時(shí)，根據(jù)對稱性可知：PE=CH=EC=10，PD==5，

∴m=10﹣5．

如圖6中當(dāng)EC=EH=10時(shí)，

在Rt△AEH中，AH===5，

易知PF=AH=5，

∵∴∴PE：EF：PF=1：2：，

∴PE=，

在Rt△PDE中，DP==2，

∴m=PA=AD﹣PD=10﹣2．

如圖7中當(dāng)HC=HE時(shí)，延長FH交CD于M，則EM=CM=BF=5，HM=，

∴m=PA=HF=10﹣=．

如圖8中，當(dāng)EH=EC時(shí)，

PF=AH===5，

∵PE：EF：PF=1：2：，

∴PE=，

在Rt△PDE中，PD==3，

∴m=PA=AD+PD=10+3，

綜上所述，滿足條件的m的值為10﹣5或10﹣2或或10+3．