Question

如圖：有100m長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600㎡，在場(chǎng)地的北面有一堵長50m的舊墻，有人用這些籬笆圍出一個(gè)長40m，寬10m的倉庫，但面積只有40×10=400（㎡）不合要求，問應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形的長與寬才能符合要求呢？你能設(shè)計(jì)出最優(yōu)方案嗎？

Answer 1

分析：是單獨(dú)圍還是利用舊墻圍？所以需分類討論．分別列式表示面積，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)確定方案，單獨(dú)圍時(shí)最佳方案與利用舊墻時(shí)的最佳方案進(jìn)行比較，最后得結(jié)論．

解答：解：設(shè)矩形的寬為xm，則長為（50-x）m，面積為S=x（50-x）m²，
（1）若面積恰為600㎡時(shí)，
則有x（50-x）=600
解得：x₁=20，x₂=30，
則長為30m或20m，
故取長為30m，寬為20m，符合設(shè)計(jì)方案的要求；

（2）若想利用籬笆獨(dú)立做一個(gè)矩形倉庫，其最大面積為：
S=x（50-x）=-x²+50x=-（x²-50x）=-（x-25）²+625，
所以當(dāng)矩形長和寬均取為25m時(shí)，
面積最大可達(dá)625m²，此時(shí)矩形為正方形，比前一種方案更好；

（3）若利用舊墻為一邊，
設(shè)矩形的寬為xm，
則矩形面積S=x（100-2x），
因?yàn)閴﹂L50m，
所以100-2x≤50，
若S=600m²，則有x（100-2x）=600，
解得x1=25+5

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，x2=25-5

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，
由100-2x≤50得x≥25，
故取x=25+5

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，
即若利用舊墻，取矩形寬為25+5

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也是符合方案要求的一種設(shè)計(jì)，
此時(shí)最大面積為：
S=x（100-2x）=-2x²+100x=-2（x-25）²+1250，
即若取矩形寬為25，長為50，則面積可達(dá)1250m²．
因此：要想設(shè)計(jì)的倉庫面積最大，在利用現(xiàn)有條件前提下，最優(yōu)設(shè)計(jì)方案是利用舊墻，取矩形寬為25m，此時(shí)面積達(dá)到1250m²．

點(diǎn)評(píng)：此題運(yùn)用分類討論的思想解決方案設(shè)計(jì)問題，訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)密性，很有創(chuàng)意．