精英家教網(wǎng)已知任意三角形ABC，其面積為S．作BC的平行線與AB、AC分別交于D、E．設(shè)三角形BDE的面積為M，求證：M≤
14
S．
分析：由于△ADE與△BDE是等高的三角形，可得
M
S△ADE
=
BD
AD
，同理亦可得
S△ADE
S△ABE
=
AD
AB
，
S△ABE
S 
=
AE
AC
再由平行線分線段成比例的性質(zhì)可得M與S的關(guān)系，進而即可求解．
解答：證明：由于△ADE與△BDE是等高的三角形，
故
M
S△ADE
=
BD
AD
=
AB-AD
AD
=
AB
AD
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又△ADE與△ABE也是等高三角形，
故
S△ADE
S△ABE
=
AD
AB
（2）
同理，
S△ABE
S 
=
AE
AC
（3）
又DE∥BC，故
AD
AB
=
AE
AC
，設(shè)此比值為x
將（1），（2），（3）式相乘，
得
M
S
=(
AB
AD
-1)•
AD
AB
•
AE
AC
=(1-
AD
AB
)
AD
AB

即
M
S
=(1-x)x
法一：展開得Sx2-Sx+M=0有實根，
故△=S2-4SM≥0
解之得M≤
1
4
S
法二：由
M
S
=(1-x)x=
1
4
-(x-
1
2
)2 ≤
1
4
  ?M≤
1
4
S．
點評：本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)以及三角形的面積問題，能夠熟練求解．
練習冊系列答案
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25、已知任意三角形△ABC，順次連接△ABC各邊中點得到△A1B1C1再順次連接△A1B1C1各邊中點得△A2B2C2，若△ABC周長為4cm，則△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2周長之和為
7
cm．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知任意三角形ABC，其面積為S．作BC的平行線與AB、AC分別交于D、E．設(shè)三角形BDE的面積為M，求證：M≤數(shù)學公式．

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已知任意三角形△ABC，順次連接△ABC各邊中點得到△A1B1C1再順次連接△A1B1C1各邊中點得△A2B2C2，若△ABC周長為4cm，則△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2周長之和為______cm．
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已知任意三角形△ABC，順次連接△ABC各邊中點得到△A1B1C1再順次連接△A1B1C1各邊中點得△A2B2C2，若△ABC周長為4cm，則△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2周長之和為    cm．

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