【題目】如圖,O過ABCD的三頂點(diǎn)A、D、C,邊AB與O相切于點(diǎn)A,邊BC與O相交于點(diǎn)H,射線AD交邊CD于點(diǎn)E,交O于點(diǎn)F,點(diǎn)P在射線AO上,且PCD=2DAF.

(1)求證:ABH是等腰三角形;

(2)求證:直線PC是O的切線;

(3)若AB=2,AD=,求O的半徑.

【答案】(1)證明參見解析;(2)證明參見解析;(3)

【解析】

試題分析:(1)要想證明ABH是等腰三角形,只需要根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得B=ADC,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),可得ADC+AHC=180°,再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ),可知AHC+AHB=180°,從而可以得到ABH和AHB的關(guān)系,從而可以證明結(jié)論成立;(2)要證直線PC是O的切線,只需要連接OC,證明OCP=90°即可,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和邊AB與O相切于點(diǎn)A,可以得到AEC的度數(shù),又PCD=2DAF,DOF=2DAF,COE=DOF,通過轉(zhuǎn)化可以得到OCP的度數(shù),從而可以證明結(jié)論;(3)根據(jù)題意和(1)(2)可以得到AED=90°,由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理,由AB=2,AD=,可以求得半徑的長(zhǎng).

試題解析:(1)證明:四邊形ADCH是圓內(nèi)接四邊形,∴∠ADC+AHC=180°,又∵∠AHC+AHB=180°∴∠ADC=AHB,四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠ADC=B,∴∠AHB=B,AB=AH,∴△ABH是等腰三角形;(2)證明:連接OC,如右圖所示,邊AB與O相切于點(diǎn)A,BAAF,四邊形ABCD是平行四邊形,ABCD,CDAF,又FA經(jīng)過圓心O,弧DF=弧CF,OEC=90°,∴∠COF=2DAF,又∵∠PCD=2DAF,∴∠COF=PCD,∵∠COF+OCE=90°∴∠PCD+OCE=90°,即OCP=90°,

直線PC是O的切線;(3)四邊形ABCD是平行四邊形,DC=AB=2,FACD,DE=CE=1,∵∠AED=90°,AD=,DE=1,AE=,設(shè)O的半徑為r,則OA=OD=r,OE=AEOA=4r,∵∠OED=90°,DE=1,r2=(4r)2+12,解得,r=,即O的半徑是

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