Question

（2009•海口一模）已知：△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），以AD為一邊向右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖1），求證：①EC=DB；②EC∥AB；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2），②中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)EC=2時(shí)，求△ABC與△ADE的面積比．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)△ADE與△ABC都是等邊三角形，容易得到全等條件證明△CAE≌△BAD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以證明題目的結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）可知D的位置對(duì)△CAE≌△BAD沒(méi)有影響，所以結(jié)論仍然成立，證明方法完全相同；
（3）當(dāng)BD=2時(shí)，AB=BC=AC=BD，△ABD是直角三角形．這樣在Rt△ABD解直角三角形可以求出AD的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的性質(zhì)可以解決問(wèn)題．
解答：（1）證明：
①∵△ADE與△ABC都是等邊三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD．
即∠CAE=∠BAD．
∴△CAE≌△BAD．
∴EC=DB．
②由△CAE≌△BAD
∴∠ACE=∠B=60°．
∴∠ACE=∠BAC=60°．
∴EC∥AB．

（2）解：②中得到的結(jié)論是否仍然成立．
∵△CAE≌△BAD（SAS）．
∴∠ACE=∠B=60°．
∴∠ACE=∠BAC=60°．
∴EC∥AB．

（3）解：∵△CAE≌△BAD．
∴BD=CE=2．
∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∴當(dāng)BD=2時(shí)，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，
AB=BC=AC=BD，
∴△ABD是直角三角形．
在Rt△ABD中，AD=BD•sinB=2×=．
∵△ABC∽△ADE．
∴△ABC與△ADE的面積比為1：3．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)．