Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象經過A（2，0）、C(0，12) 兩點，且對稱軸為直線x=4. 設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B.

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標；

（2）如圖，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）y= x2－8x+12，（4，－4）；（2）存在，當D(，)時，四邊形OPBD為等腰梯形

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式進而得出答案；

（2）首先求出直線BP的解析式，進而利用當BD=OP時，得出X的值，即當x=時四邊形OPBD為等腰梯形.

解：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c

由題意得 解得

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2－8x+12

點P的坐標為（4，－4）

（2）存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形. 理由如下：

當y=0時，x2-8x+12=0，∴x1=2 ，x2=6

∴點B的坐標為（6，0）

設直線BP的解析式為y=kx+m

則 解得

∴直線BP的解析式為y=2x－12

∴直線OD∥BP

∵頂點坐標P（4， －4），∴ OP=4

設D(x，2x)，則BD2=（2x）2+(6－x)2

當BD=OP時，（2x）2+(6－x)2=32

解得：x1=，x 2=2

當x2=2時，OD=BP=，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去

∴當x=時四邊形OPBD為等腰梯形

∴當D(，)時，四邊形OPBD為等腰梯形

“點睛”此題主要考查了待定系數(shù)法求二次解析式以及等腰梯形的性質與判定以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，熟練應用等腰梯形的判定與性質是解題的關鍵.