如圖,已知△ABC是等邊三角形,邊長(zhǎng)為10,點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、AC上,且AD=BE=CF,
(1)設(shè)AD為x,△ADF的面積為y,當(dāng)x為何值時(shí),△ADF的面積最大,最大面積是多少?
(2)當(dāng)x為何值時(shí),△ADF是直角三角形?
分析:(1)過(guò)F作AB的垂線,垂足為H,可得FH=AF×sin60°=(10-x)×
3
2
,△ADF的面積為y=-
3
4
x2
+5x,根據(jù)二次函數(shù)的最值公式,即可求出當(dāng)x為何值時(shí),△ADF的面積最大值;
(2)①△ADF是直角三角形,令∠ADF是直角,則FD2+AD2=AF2,②△ADF是直角三角形,令∠AFD是直角,則FD2+AF2=AD2,根據(jù)勾股定理列方程,解答出即可.
解答:解:(1)∵AD為x,AD=BE=CF,
∴AF=10-x,
過(guò)F作AB的垂線,垂足為H,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=60°,則FH=AF×sin60°=(10-x)×
3
2
,
∴y=
1
2
×x×
(10-x)×
3
2
=-
3
4
x2
+
5
3
2
x,
∴x=-
b
2a
=
5
3
2
3
4
=5,
y=
4ac-b2
4a
=
0-(
5
3
2
)2
4×(-
3
4
)
=
25
3
4
,
綜上,當(dāng)x=5,△ADF的面積最大,最大面積是
25
3
4
;

(2)①如果△ADF是直角三角形,令∠ADF是直角,根據(jù)勾股定理的逆定理得:FD2+AD2=AF2,
[(10-x)×
3
2
]2
+x2=(10-x)2,
解得:x1=-10(舍去),x2=
10
3
;
②如果△ADF是直角三角形,令∠AFD是直角,根據(jù)勾股定理的逆定理得:FD2+AF2=AD2,
[
3
2
x]
2
+(10-x)2=x2,
解得,x1=20(舍去),x2=
20
3
;
綜上,當(dāng)x=
10
3
20
3
時(shí),△ADF是直角三角形.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)的最值、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí),注意(2)中分兩種情況討論解答.
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(1)寫(xiě)出B,C,D三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)B,C,D三點(diǎn),求此拋物線的解析式.

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求證:△CMN是等邊三角形.

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(1)求證:△AEB≌△ADC;
(2)如果BC=CD,判斷四邊形BCGE的形狀,并說(shuō)明理由.

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