Question

已知：如圖，在⊙O中M，N分別為弦AB，CD的中點(diǎn)，AB=CD，AB不平行于CD．
求證：∠AMN=∠CNM．

Answer 1

分析：連接OM，ON，OA，OC，由M、N分別為中點(diǎn)，利用垂徑定理的逆定理得到OM垂直于AB，ON垂直于CD，由AM=CN，OA=OC，利用HL得出兩直角三角形全等，可得出OM=ON，利用等邊對等角得到一對角相等，再利用等式的性質(zhì)即可得證．

解答：證明：連接OM，ON，AO，OC，如圖所示，
∵M(jìn)、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
又AB=CD，∴AM=CN，
在Rt△AOM和Rt△CON中，
∵

OA=OC AM=CN

，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM，即∠AMN=∠CNM．

點(diǎn)評：此題考查了垂徑定理，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．