Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，以斜邊AB所在直線為x軸，以斜邊AB上的高所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，若OA²+OB²=17，且線段OA、OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的兩個根．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）以斜邊AB為直徑作圓與y軸交于另一點(diǎn)E，求過A、B、E三點(diǎn)的拋物線的解析式，并畫出此拋物線的草圖；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ABP與△ABC全等？若存在，求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）線段OA、OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的兩個根．根據(jù)韋達(dá)定理就可以得到關(guān)于OA，OB的兩個式子，再已知OA²+OB²=17，就可以得到一個關(guān)于m的方程，從而求出m的值．求出OA，OB．根據(jù)OC²=OA•OB就可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由第一問很容易求出A，B的坐標(biāo)．連接AB的中點(diǎn)，設(shè)是M，與E，在直角△OME中，根據(jù)勾股定理就可以求出OE的長，得到E點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；
（3）E點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)．同時C，E關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)也是滿足條件的點(diǎn)．

解答：解：（1）∵線段OA、OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的兩個根，
∴

OA+OB=m，(1) OA•OB=2(m-3)．(2)

又∵OA²+OB²=17，
∴（OA+OB）²-2•OA•OB=17，（3）
∴把（1）（2）代入（3），得m²-4（m-3）=17，
∴m²-4m-5=0，
解之，得m=-1或m=5，
又知OA+OB=m＞0，
∴m=-1應(yīng)舍去，
∴當(dāng)m=5時，得方程x²-5x+4=0，
解之，得x=1或x=4，
∵BC＞AC，
∴OB＞OA，
∴OA=1，OB=4，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OA•OB=1×4=4，
∴OC=2，
∴C（0，2）；

（2）∵OA=1，OB=4，C、E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，
∴A（-1，0），B（4，0），E（0，-2），
設(shè)經(jīng)過A、B、E三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

解之，得

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
∴所求拋物線解析式為y=

1

2

x2-

3

2

x-2；

（3）存在，
∵點(diǎn)E是拋物線與圓的交點(diǎn)，
∴Rt△ACB≌RT△AEB，
∴E（0，-2）符合條件，
∵圓心的坐標(biāo)（

3

2

，0）在拋物線的對稱軸上，
∴這個圓和這條拋物線均關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴點(diǎn)E關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)E′也符合題意，
∴可求得E′（3，-2），
∴拋物線上存在點(diǎn)P符合題意，它們的坐標(biāo)是（0，-2）和（3，-2）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)與圓以及全等三角形相結(jié)合的題目，難度較大，利用數(shù)形結(jié)合有利于對題目的理解．