【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,點(diǎn)F在正方形ABCD的內(nèi)部,延長AF交CD于點(diǎn)G.
(1)猜想并證明線段GF與GC的數(shù)量關(guān)系;
(2)若將圖1中的正方形改成矩形,其它條件不變,如圖2,那么線段GF與GC之間的數(shù)量關(guān)系是否改變?請證明你的結(jié)論;
(3)若將圖1中的正方形改成平行四邊形,其它條件不變,如圖3,那么線段GF與GC之間的數(shù)量關(guān)系是否會改變?請證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)
解:FG=CG,理由如下:
∵E是BC的中點(diǎn)
∴BE=CE
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE
∴BE=EF,
∴EF=EC;
同樣,在折疊中,∠B=∠EFA=90°
又∵∠C=∠B,∠EFG=∠EFA
∴∠C=∠EFG=90°
∵EG=EG,
∴△ECG≌△EFG
∴FG=CG
(2)
解:不會改變.
證明:連接EG
∵E是BC的中點(diǎn)
∴BE=CE
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE
∴BE=EF,
∴EF=EC;
同樣,在折疊中,∠B=∠EFA=90°
又∵∠C=∠B,∠EFG=∠EFA
∴∠C=∠EFG=90°
∵EG=EG,
∴△ECG≌△EFG
∴FG=CG;
(3)
解:不會改變.
證明:連接EG、FC
∵E是BC的中點(diǎn)
∴BE=CE
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE
∴BE=EF,∠B=∠AFE
∴EF=EC
∴∠EFC=∠ECF
∵矩形ABCD改為平行四邊形
∴∠B=∠D
∵∠ECD=180°﹣∠D,∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D
∴∠ECD=∠EFG
∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF
∴∠GFC=∠GCF
∴△ECG≌△EFG
∴FG=CG
即(1)中的結(jié)論仍然成立
【解析】(1)判定直角三角形△ECG和△EFG全等,和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì);(2)判定直角三角形△ECG和△EFG全等,和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì);(3)判定△ECG和△EFG全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等性質(zhì)即可證明.
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(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊得中點(diǎn)位置時:
①通過測量DE、EF的長度,猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 .
②連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N,猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ,請證明你的猜想.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時,猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
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