Question

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)E在斜邊AB上，過(guò)點(diǎn)E作直線與△ABC的直角邊相交于點(diǎn)F，設(shè)AE＝x，△AEF的面積為y．

（1）求線段AD的長(zhǎng)；

（2）若EF⊥AB，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)時(shí)，

①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）

②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求其最大值；

（3）若F在直角邊AC上（點(diǎn)F與A、C兩點(diǎn)均不重合），點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng)，試問(wèn)：是否存在直線EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

 

（1）

（2）

①y= （＜x≤5）

②當(dāng)時(shí)，y的最大值為

（3）x=

解析:解：（1）∵AC=3，BC=4

∴AB=5

∵AC·BC=AB·CD，

∴CD=，AD=

（2）①當(dāng)0＜x≤時(shí)

∵EF∥CD

∴△AEF∽△ADC

∴

即EF=x

∴y=·x·x=

當(dāng)＜x≤5時(shí)，易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5—x）

∴y=·x·（5—x）=≤

②當(dāng)0＜x≤時(shí)，y隨x的增大而增大.

y=≤,即當(dāng)x=時(shí)，y最大值為

  當(dāng)＜x≤5時(shí)，

        ∵

       ∴當(dāng)時(shí)，y的最大值為

      ∵＜

      ∴當(dāng)時(shí)，y的最大值為

（3）假設(shè)存在

    當(dāng)0＜x≤5時(shí)，AF=6—x

    ∴0＜6—x＜3

    ∴3＜x＜6

     ∴3＜x≤5

    作FG⊥AB與點(diǎn)G

    由△AFG∽△ACD可得

    ∴，即FG=

    ∴x·=

    ∴=3，即2x2-12x+5=0

    解之得x1=，x2=

    ∵3＜x1≤5

    ∴x1=符合題意

    ∵x2=＜3

    ∴x2不合題意，應(yīng)舍去

    ∴存在這樣的直線EF，此時(shí)，x=