Question

（2004•廣安）如圖，⊙O中，BC為直徑，AH⊥BC，垂足為D，過B作弦BF，交AD于E，交⊙O于F，且AE=BE．
（1）求證：AB=AF；  
（2）若BE•EF=32，AD=6，證明：AF∥BC．

Answer 1

分析：（1）由AE=BE，易證得

BH

=

AF

，又由AH⊥BC，由垂徑定理即可求得

AB

=

BH

，繼而可得

AB

=

AF

，則可證得AB=AF；
（2）由相交弦定理，可求得AE的長，繼而可得∠DBE=30°，又由三角形內(nèi)角和定理，可求得∠AFB=∠DBE，繼而證得AF∥BC．

解答：證明：（1）∵AE=BE，
∴∠BAH=∠ABF，
∴

BH

=

AF

，
∵AH⊥BC，
∴

AB

=

BH

，
∴

AB

=

AF

，
∴AB=AF；

（2）∵BE•EF=AE•HE，
∴AE•（12-AE）=32，
解得：AE=8或AE=4，
由題意得：AE=4，
∴DE=AD-AE=6-4=2，
在Rt△BDE中，BE=4=2DE，
∴∠DBE=30°，
∵∠DAB=∠EBA，且∠DAB+∠ABE+∠DBE=90°，
∴∠ABE=30°，
∵∠AFB=∠ABF，
∴∠AFB=∠DBE，
∴AF∥BC．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、相交弦定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系以及含30°的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．