【題目】在正方形 ABCD 中,點 P 在射線 AB 上,連結(jié) PC,PD,M,N 分別為 AB,PC 中點,連結(jié) MN 交 PD 于點 Q.

(1)如圖 1,當(dāng)點 P 與點 B 重合時,求∠QMB 的度數(shù);

(2)當(dāng)點 P 在線段 AB 的延長線上時.

①依題意補全圖2

②小聰通過觀察、實驗、提出猜想:在點P運動過程中,始終有QP=QM.小聰把這個猜想與同學(xué)們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:

想法1延長BA到點 E,使AE=PB .要證QP=QM,只需證△PDA≌△ECB.

想法2:取PD 中點E ,連結(jié)NE,EA. 要證QP=QM只需證四邊形NEAM 是平行四邊形.

想 法3:過N 作 NE∥CB 交PB 于點 E ,要證QP=QM ,只要證明△NEM∽△DAP.

……

請你參考上面的想法,幫助小聰證明QP=QM. (一種方法即可)

【答案】(1)∠QMB 的度數(shù)為45°;

(2)①補全圖2見解析;②證明見解析.

【解析】試題分析:(1)連接AC,由MN分別是AB、BC的中點可得,MN是 的中位線,即可得到∠QMB 的度數(shù)為45°;2根據(jù)題意畫出圖形;根據(jù)每種方法提示解題即可;

試題解析:

(1) 連結(jié)AC,如圖所示:

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠D AB=90°

∴∠C AB=45°

M,N AB,BC 中點

MNAC

∴∠NMB=C AB=45°

∴∠QMB=C AB=45°

(2) 如圖所示:

②想法1:延長BA 到點E,使AE=PB

BE=AP

∵正方形ABCD

∴∠PAD=EBC=90° AD=BC

∴△PDA≌△ECB

DPA=E

又點M AB 中點,AM=MB, AE=BP

AM+EA=MB+BP

EM=MP

MEP中點

MNEPC的中位線

MNEC

∴∠E=NMP

∴∠NMP=DPA即∠QMP=QPM

QM=QP

想法2:取PD 中點E,連結(jié)NE,EA

E,N分別是PD,PC

ENCD,EN=CD

CDAB,CD=AB

ENABEN=AB

EN=AM

∴四邊形是NEAM是平行四邊形

EAMN

∴∠EAB=NMB

又點E RtDAP 斜邊DP中點

AE=EP

∴∠EAB=EPA

∴∠NMB=EPA

QM=QP

想法3:N NECB PB 于點 E

CBAB,

NEAP

又∵N PC中點

NE CBP的中位線

NE=BC

又點EB P中點

BE=BP,MB=AB

ME=AP

NEM=DAP=90°

∴△NEM∽△DAP

∴∠EMN=APD

QM=QP

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證明:∵∠A=∠F(已知)
∴AC∥
∴∠D=∠1(
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠1=
∴BD∥CE(

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