Question

【題目】如圖，O為坐標原點，四邊形ABCD是菱形，A(-4，4)，B點在第一象限，AB=5，AB與y軸交于點F，對角線AC交y軸于點E.

(1)直接寫出B點C點坐標；

(2)動點P從C點出發(fā)以每秒1個單位的速度沿折線段C—D—A運動，求△EDP的面積y與時間t的關系式

(3)在(2)的條件下，是否存在一點P，使△APE沿其一邊翻折構成的四邊形是菱形，若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)B(1，4)，C(4，0)；(2)y=5-t(0≤t<5)，y=t-5(5<t≤10)；(3)存在，P(-2.5，2)或P(-4，)

【解析】

（1）根據(jù)A點坐標和AB=5可得B點坐標，過點B作BG⊥OC，求出GC即可得到C點坐標；

（2）過點E作EN⊥BC于點N，延長EN交AD于M，所以MN⊥AD，根據(jù)菱形的性質可得OE=EN，OC=CN=4，在Rt△BNE和Rt△BFE中，通過勾股定理構建方程求出OE=EF=ME=2，然后根據(jù)三角形面積公式列式即可；

（3）分兩種情況：①點P在DA上，且AP=AE時，沿PE翻折,可得四邊形為菱形，此時可根據(jù)相似三角形的性質求出PR，DR，從而得到P點坐標；②當P在DA上，且AP=PE時，沿AE翻折,可得四邊形為菱形，此時PE為△ADC的中位線，根據(jù)中點坐標公式可求出P點坐標.

解:(1)∵A(-4，4),AB=5，四邊形ABCD是菱形，

∴B (1，4),BF=1，

過點B作BG⊥OC，則BG=4，BC=5，

∴GC=3，

∴C(4,0)

（2）過點E作EN⊥BC于點N，延長EN交AD于M，所以MN⊥AD，

∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DCA=∠BCA，

∴OE=EN，

由（1）知OC=4，∴CN=4，BN=1，

設OE=x，則OE=EN=x，EF=4-x，

在Rt△BNE中，BE2=x2+1，在Rt△BFE中，BE2=(4-x)2+1，

∴x2+1=(4-x)2+1，解得：x=2，即OE=2，EF=2，

∴ME=EF=2，

∴當點P在CD上時，y=，

當點P在DA上時，y=，

（3）①如圖：點P在DA上，且AP=AE時，沿PE翻折,可得四邊形為菱形，

作AQ⊥OQ，PR⊥OQ，由（1）（2）可得OD=1，EF=2,AF=4，

根據(jù)勾股定理可得：AP=AE=，∴PD=5-，

易得△PRD∽△AQD，∴，

∴PR=4-，DR=3-，∴OR=4-，

∴此時P點坐標為（）；

②如圖：當P在DA上，且AP=PE時，沿AE翻折,可得四邊形為菱形，

∵AP=PE，∴∠PAE=∠PEA，

又∵∠PAE=∠EAF，

∴∠PEA=∠EAF，

∴AF∥PE∥CD，

由（1）（2）可知E為AC中點，∴P為AD中點，

∵A（-4,4），D（-1,0），

∴P（）

綜上所述：滿足題意的P點坐標為（）或（）.