Question

如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，連接CD、OD，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AC∥OD；②CD=DE；③△ODE∽△ADO；④2CD²=CE•AB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可；
②作ON⊥CD，根據(jù)AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，求出∠COD=45°，再求出∠OCD=∠ODC=67.5°，
得到CD=DE；
③兩三角形中，只有一個(gè)公共角的度數(shù)相等，其它兩角不相等，所以不能證明③△ODE∽△ADO；
④根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠CDE=45°，再求證△CED∽△COD，利用其對(duì)應(yīng)變成比例即可得出結(jié)論．

解答：解：①∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=∠DAO=

1

2

∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正確．
②作ON⊥CD，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∠AEO=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DCE=∠CED=67.5°，
∴CD=DE，
∴②正確．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DEO≠∠DAO，
∴不能證明△ODE和△ADO相似，
∴③錯(cuò)誤；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已證），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△COD，
∴

CD

OD

=

CE

CD

，
∴CD²=OD•CE=

1

2

AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
∴④正確．
綜上所述，只有①②④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用，此題步驟繁瑣，但相對(duì)而言，難易程度適中，很適合學(xué)生的訓(xùn)練是一道典型的題目．