Question

已知直線l₁∥l₂，直線l₃，l₄分別與l₁，l₂交于點B，F和A，E，點P是直線l₃上一動點（不與點B，F重合），設∠BAP=∠1，∠PEF=∠2，∠APE=∠3．
（1）如上圖，當點P在B，F兩點之間運動時，試確定∠1，∠2，∠3之間的關系，并給出證明；
（2）當點P在B，F兩點外側運動時，試探究∠1，∠2，∠3之間的關系，畫出圖形，給出結論，不必證明．

Answer 1

分析：（1）首先過點P作PC∥l₁，交AE于點C，由直線l₁∥l₂，可得CP∥l₁∥l₂，然后由兩直線平行，同位角相等，求得答案；
（2）有兩種情況；①當點P在BF的延長線上運動時（如下圖2），∠3+∠2=∠1．②當點P在FB的延長線上運動時（如下圖3），∠3+∠1=∠2．

解答：解：（1）∠1+∠2=∠3．
證明：過點P作PC∥l₁，交AE于點C，
則∠1=∠APC，∠α=∠β，
∵l₁∥l₂，
∴∠α=∠γ，
∴∠β=∠γ，
∵CP∥EF，
∴∠2=∠CPE，
∴∠1+∠2=∠APC+∠CPE=∠APE，
即∠1+∠2=∠3；

（2）有兩種情況；
①當點P在BF的延長線上運動時（如圖2），∠3+∠2=∠1．
證明：過點P作CP∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴CP∥l₁∥l₂，
∴∠APC=∠1，∠EPC=∠2，
∴∠3=∠ACP-∠ECP=∠1-∠2，
∴∠3+∠2=∠1．
②當點P在FB的延長線上運動時（如圖3），∠3+∠1=∠2．
同理可得：∠3+∠1=∠2．

點評：此題考查了平行線的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．