Question

（2013•鄂爾多斯）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為C（-1，-1），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B和坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)A、O、D、E為
頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式解析式，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）分三種情況考慮，D在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四邊形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求出D坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)B橫坐標(biāo)為-3，代入拋物線解析式求出縱坐標(biāo)，確定出B坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC，BO，OC的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得到三角形BOC為直角三角形，若P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，設(shè)P（m，n），由題意得m＞0，n＞0，且n=m²+2m，根據(jù)相似得比例，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，進(jìn)而求出n的值，即可確定出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為C（-1，-1），
∴設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）²-1，
∵拋物線經(jīng)過(guò)（0，0），
∴將x=0，y=0代入拋物線解析式得：0=a-1，
解得：a=1，
∴y=（x+1）²-1=x²+2x，
令y=0時(shí)，x²+2x=0，
解得x₁=0，x₂=-2，
∴A（-2，0）；
（2）如圖所示，分三種情況考慮：
當(dāng)D₁在第一象限時(shí)，若四邊形AOD₁E₁為平行四邊形，
∴AO=E₁D₁=2，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴D₁橫坐標(biāo)為1，
將x=1代入拋物線y=x²+2x=1+2=3，即D₁（1，3）；
當(dāng)D₂在第二象限時(shí)，同理D₂（-3，3）；
當(dāng)D₃在第三象限時(shí)，若四邊形AE₂OD₃為平行四邊形，此時(shí)D₃與C重合，即D₃（-1，-1）；
（3）存在，
∵點(diǎn)B在拋物線上，
∴當(dāng)x=-3時(shí)，y=9-6=3，
∴B（-3，3），
根據(jù)勾股定理得：BO²=9+9=18；CO²=1+1=2；BC²=16+4=20，
∴BO²+CO²=18+2=20，
∴BO²+CO²=BC²，∴△BOC為直角三角形，
假設(shè)存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，
設(shè)P（m，n），由題意得m＞0，n＞0，且n=m²+2m，
①若△AMP∽△BOC，則

AM

BO

=

PM

CO

，即

m+2

18

=

m2+2

2

，
整理得：m+2=3（m²+2m）=0，即3m²+5m-2=0，
解得：m₁=

1

3

，m₂=-2（舍去），
m₁=

1

3

時(shí)，n=

1

9

+

2

3

=

7

9

，
∴P（

1

3

，

7

9

）；                                         
②若△AMP∽△COB，則

AM

CO

=

PM

BO

，即

m+2

2

=

m2+2

18

，
整理得：m²-m-6=0，
解得  m₁=3，m₂=-2（舍去），
當(dāng)m=3時(shí)，n=9+6=15，
∴P（3，15），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P₁（

1

3

，

7

9

），P₂（3，15）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求拋物線解析式，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，分類討論時(shí)注意考慮問(wèn)題要全面．