【題目】如圖1,把一張長方形的紙片ABCD沿對角線BD折疊,點C落在E處,BE交AD于點F.
(1)求證:FB=FD;
(2)如圖2,連接AE,求證:AE∥BD;
(3)如圖3,延長BA,DE相交于點G,連接GF并延長交BD于點H,求證:GH垂直平分BD。
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得:AB=DC=DE,∠BAD=∠BCD=∠BED=90°,根據(jù)AAS可證△ABF≌△EDF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證BF=DF;
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證:FA=FE,根據(jù)等邊對等角可得:∠FAE=∠FEA,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證:2∠AEF +∠AFE =2∠FBD+∠BFD =180°,所以可證∠AEF=∠FBD,根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行可證AE∥BD;
(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)可證:AD=BC=BE,AB=CD=DE,BD=DB,根據(jù)SSS可證:△ABD≌△EDB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證:∠ABD=∠EDB,根據(jù)等角對等邊可證:GB=GD,根據(jù)HL可證:△AFG≌△EFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證:∠AGF=∠EGF,所以GH垂直平分BD.
試題解析:(1)∵長方形ABCD,
∴AB=DC=DE,∠BAD=∠BCD=∠BED=90°,
在△ABF和△DEF中,
∴△ABF≌△EDF(AAS),
∴BF=DF.
(2)∵△ABF≌△EDF,
∴FA=FE,
∴∠FAE=∠FEA,
又∵∠AFE=∠BFD,且2∠AEF +∠AFE =2∠FBD+∠BFD =180°,
∴∠AEF=∠FBD,
∴AE∥BD,
(3)∵長方形ABCD,
∴AD=BC=BE,AB=CD=DE,BD=DB,
∴△ABD≌△EDB(SSS),
∴∠ABD=∠EDB,
∴GB=GD,
在△AFG和△EFG中,
∠GAF=∠GEF=90°,
FA=FE,
FG=FG,
∴△AFG≌△EFG(HL),
∴∠AGF=∠EGF,
∴GH垂直平分BD.
【方法II】
(1)∵△BCD≌△BED,
∴∠DBC=∠EBD
又∵長方形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠EBD=∠ADB,
∴FB=FD.
(2)∵長方形ABCD,
∴AD=BC=BE,
又∵FB=FD,
∴FA=FE,
∴∠FAE=∠FEA,
又∵∠AFE=∠BFD,且2∠AEF +∠AFE =2∠FBD+∠BFD =180°,
∴∠AEF=∠FBD,
∴AE∥BD,
(3)∵長方形ABCD,
∴AD=BC=BE,AB=CD=DE,BD=DB,
∴△ABD≌△EDB,
∴∠ABD=∠EDB,
∴GB=GD,
又∵FB=FD,
∴GF是BD的垂直平分線,
即GH垂直平分BD.
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【題目】已知下列結(jié)論:①在數(shù)軸上的點只能表示無理數(shù);②任何一個無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示;③實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應;④有理數(shù)有無限個,無理數(shù)有限個,其中正確的結(jié)論是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(一1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,當△ACM周長最小時,求點M的坐標及△ACM的最小周長.
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【題目】△ABC中,∠A=∠B+∠C,則對△ABC的形狀判斷正確的是( )
A. 銳角三角形
B. 直角三角形
C. 鈍角三角形
D. 等邊三角形
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【題目】試用學過的知識判斷,下列說法正確的是(。
A. 一個直角三角形一定不是等腰三角形 B. 一個等腰三角形一定不是銳角三角形
C. 一個等腰三角形一定不是等腰三角形 D. 一個等腰三角形一定不是鈍角三角形
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【題目】(本題8分)如下圖,在每個小正方形邊長為1的方格紙中,△ABC的頂點都在方格紙格點上.
(1)△ABC的面積為 ;
(2)將△ABC經(jīng)過平移后得到△A′B′C′,圖中標出了點B的對應點B',補全△A′B′C′;
(3)在圖中畫出△ABC的高CD;
(4)若連接, ,則這兩條線段之間的關系是 ;
(5)能使S△ABC=S△QBC的格點Q,共有 個.
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【題目】下列說法正確的是( )
A. “任意畫一個三角形,其內(nèi)角和為360°”是隨機事件;
B. 已知某籃球運動員投籃投中的概率為0.6,則他投十次可投中6次;
C. 抽樣調(diào)查選取樣本時,所選樣本可按自己的喜好選。
D. 檢測某城市的空氣質(zhì)量,采用抽樣調(diào)查法.
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