Question

（2013•黃岡）某公司生產的一種健身產品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內、國外市場上全部售完．該公司的年產量為6千件，若在國內市場銷售，平均每件產品的利潤y₁（元）與國內銷售量x（千件）的關系為：
y₁=

15x+90(0＜x≤2) -5x+130(2＜x＜6)

若在國外銷售，平均每件產品的利潤y₂（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系為
y2=

100(0＜t≤2) -5t+110(2≤t＜6)

（1）用x的代數式表示t為：t=

6-x

；當0＜x≤4時，y₂與x的函數關系為：y₂=

5x+80

；當

4

＜x＜

6

時，y₂=100；
（2）求每年該公司銷售這種健身產品的總利潤w（千元）與國內銷售數量x（千件）的函數關系式，并指出x的取值范圍；
（3）該公司每年國內、國外的銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）由該公司的年產量為6千件，每年可在國內、國外市場上全部售完，可得國內銷售量+國外銷售量=6千件，即x+t=6，變形即為t=6-x；
根據平均每件產品的利潤y₂（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系y2=

100(0＜t≤2) -5t+110(2≤t＜6)

及t=6-x即可求出y₂與x的函數關系：當0＜x≤4時，y₂=5x+80；當4≤x＜6時，y₂=100；
（2）根據總利潤=國內銷售的利潤+國外銷售的利潤，結合函數解析式，分三種情況討論：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；
（3）先利用配方法將各解析式寫成頂點式，再根據二次函數的性質，求出三種情況下的最大值，再比較即可．

解答：解：（1）由題意，得x+t=6，
∴t=6-x；
∵y2=

100(0＜t≤2) -5t+110(2≤t＜6)

，
∴當0＜x≤4時，2≤6-x＜6，即2≤t＜6，
此時y₂與x的函數關系為：y₂=-5（6-x）+110=5x+80；
當4≤x＜6時，0＜6-x≤2，即0＜t≤2，
此時y₂=100．
故答案為：6-x；5x+80；4，6；

（2）分三種情況：
①當0＜x≤2時，w=（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=10x²+40x+480；
②當2＜x≤4時，w=（-5x+130）x+（5x+80）（6-x）=-10x²+80x+480；
③當4＜x＜6時，w=（-5x+130）x+100（6-x）=-5x²+30x+600；
綜上可知，w=

10x2+40x+480(0＜x≤2) -10x2+80x+480(2＜x≤4) -5x2+30x+600(4＜x＜6)

；

（3）當0＜x≤2時，w=10x²+40x+480=10（x+2）²+440，此時x=2時，w_最大=600；
當2＜x≤4時，w=-10x²+80x+480=-10（x-4）²+640，此時x=4時，w_最大=640；
當4＜x＜6時，w=-5x²+30x+600=-5（x-3）²+645，4＜x＜6時，w＜640；
∴x=4時，w_最大=640．
故該公司每年國內、國外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64萬元．

點評：本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，有一定難度．涉及到一次函數、二次函數的性質，分段函數等知識，進行分類討論是解題的關鍵．