Question

在△ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△CD′E′（使∠BCE′< 180°），連接AD′、BE′，設直線BE′與AC交于點O。
（1）如圖（1），當AC=BC時，AD′：BE′的值為____；
（2）如圖（2），當AC=5，BC=4時，求AD′：BE′的值；
（3）在（2）的條件下，若∠ACB=60°，且E為BC的中點，求△OAB面積的最小值。

Answer 1

解：（1）1； （2）∵DE∥AB， ∴ △CDE∽△CAB， ∴ 由旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得，EC=E′C，DC=D′C， ∴  ∵∠ECD=∠E′CD′， ∴∠ECD+∠ACE′=∠ E′CD′+∠ACE′，即∠BCE′=∠ACD′ ∴△BCE′∽△ACD′ ∴； （3）作BM⊥AC于點M，則BM=BC·sin60°， ∵為BC中點， ∴CE=BC=2， △CDE旋轉(zhuǎn)時，點E′在以點C為圓心、CE長為半徑的圓上運動 ∵CO隨著∠CBE′的增大而增大， ∴當BE′與⊙C相切時，即∠BE′C=90°時最大，則CO最大， ∴此時∠CBE′=30°，CE′=BC=2=CE ∴點E′在AC上，即點E′與點O重合， ∴CO=CE′=2， 又∵CO最大時，AO最小，且AO=AC-CO=3， ∴S△OAB最小=AO · BM=3。