小華用兩塊不全等的等腰直角三角形的三角板擺放圖形.
(1)如圖①所示△ABC,△DBE,兩直角邊交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG∥BC交AB于點(diǎn)G,連接BF、AD,則線段BF與線段AD的數(shù)量關(guān)系是
 
;直線BF與直線AD的位置關(guān)系是
 
,并求證:FG+DC=AC;
(2)如果小華將兩塊三角板△ABC,△DBE如圖②所示擺放,使D、B、C三點(diǎn)在一條直線上,AC、DE的延長線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG∥BC,交直線AE于點(diǎn)G,連接AD,F(xiàn)B,則FG、DC、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是
 

(3)在(2)的條件下,若AG=7
2
,DC=5,將一個45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合,并繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),這個角的兩邊分別交線段FG于P、Q兩點(diǎn)(如圖③),線段DF分別與線段BQ、BP相交于M、N兩點(diǎn),若PG=2,求線段MN的長.
精英家教網(wǎng)
分析:(1)BF、ED的數(shù)量關(guān)系應(yīng)該是相等,可通過證△BEF≌△BEA來得到這個結(jié)論,易證得△AEF、△BED都是等腰直角三角形,則AE=EF、BE=DE,即可證得所求的三角形全等;進(jìn)而可得∠BFE=∠BAD,由于∠EBF、∠BFE互余,因此∠EBF、∠BAD也互余,由此得BF、AD互相垂直;易知△AFG、△CDF是等腰直角三角形,則AF=FG、CD=CF,即可證得AC=FG+CD.
(2)解法同(1).
(3)此題較復(fù)雜,易得△ABC、△FCD、△AFG、△BED都是等腰直角三角形,根據(jù)已知條件先求得AC、BC、BD、CF、BG的長,過B作BH⊥FG于H,過P作PK⊥AG于K;已知PG的長,易求得PK、KG的值,進(jìn)而可求得BK的長;易證得△BQH∽△BPK,根據(jù)得到的比例線段,可求得QH的長,進(jìn)而可得FQ的長,然后通過△FQM∽△DBM,可求得DM的長,進(jìn)而由△BDN∽△PFN求出DN的值,即可根據(jù)MN=DM-DN求出MN的值.
解答:解:(1)結(jié)論:
則線段BF與線段AD的數(shù)量關(guān)系是:相等;直線BF與直線AD的位置關(guān)系是:互相垂直;(1分)
理由:∵△ABD是等腰直角三角形,且FG∥BD,
∴△AFG、△AEF都是等腰直角三角形;
而∠ABD=∠FCD=45°,則△BEC也是等腰直角三角形,
∴AE=EF,BE=CF,
又∵∠AEC=∠BEF=90°,
∴△BEF≌△CEA,得BF=AC,∠BFE=∠CAE;
∵∠EBF+∠BFE=90°,故∠EBF+∠CAE=90°,即BF、AC互相垂直.
證明:∵△ABC、△BDE是等腰直角三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BDE=45°,
∵AD⊥BC,
∴∠CFD=45°,
∴CD=CF;(2分)
∵FG∥BC,∠AGF=∠ABC=45°,
∴FG=AF,
∵AD=AF+FC,
∴AD=FG+DC.(3分)

(2)FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是FG=DC+AC(解法同(1)).(4分)

(3)過點(diǎn)B作BH⊥FG垂足為H,過點(diǎn)P作PK⊥AG垂足為K;(5分)
精英家教網(wǎng)∵FG∥BC,C、D、B在一條直線上,
可證△AFG、△DCF是等腰直角三角形,
∵AG=7
2
,CD=5,
∴根據(jù)勾股定理得:AF=FG=7,F(xiàn)D=5
2

∴AC=BC=2,
∴BD=3;
∵BH⊥FG,
∴BH∥CF,∠BHF=90°,
∵FG∥BC,
∴四邊形CFHB是矩形,
∴BH=5,F(xiàn)H=2;
∵FG∥BC,
∴∠G=45°,
∴HG=BH=5,BG=5
2
;
∵PK⊥AG,PG=2,
∴PK=KG=
2
,
∴BK=5
2
-
2
=4
2

∵∠PBQ=45°,∠HGB=45°,
∴∠GBH=45°,
∴∠1=∠2;
∵PK⊥AG,BH⊥FG,
∴∠BHQ=∠BKP=90°,
∴△BQH∽△BPK,
PK
QH
=
BK
BH
,
∴QH=
5
4
,(6分)
FQ=
3
4
;
∵FG∥BC,
∴∠D=∠MFQ,∠CBM=∠FQM,
∴△FQM∽△DBM,可求得DM=4
2
;(7分)
∵∠D=∠MFQ,∠DNB=∠FNP,
∴△BDN∽△PFN,
DN
FN
=
BD
PF
,
DN=
15
2
8

MN=4
2
-
15
2
8
=
17
2
8
.(8分)
點(diǎn)評:此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

小華用兩塊不全等的等腰直角三角形的三角板擺放圖形.
(1)如圖①所示△ABC,△DBE,兩直角邊交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG∥BC交AB于點(diǎn)G,連接BF、AD,則線段BF與線段AD的數(shù)量關(guān)系是______;直線BF與直線AD的位置關(guān)系是______,并求證:FG+DC=AC;
(2)如果小華將兩塊三角板△ABC,△DBE如圖②所示擺放,使D、B、C三點(diǎn)在一條直線上,AC、DE的延長線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG∥BC,交直線AE于點(diǎn)G,連接AD,F(xiàn)B,則FG、DC、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是______;
(3)在(2)的條件下,若AG=數(shù)學(xué)公式,DC=5,將一個45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合,并繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),這個角的兩邊分別交線段FG于P、Q兩點(diǎn)(如圖③),線段DF分別與線段BQ、BP相交于M、N兩點(diǎn),若PG=2,求線段MN的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年北京市通州區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

小華用兩塊不全等的等腰直角三角形的三角板擺放圖形.
(1)如圖①所示△ABC,△DBE,兩直角邊交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG∥BC交AB于點(diǎn)G,連接BF、AD,則線段BF與線段AD的數(shù)量關(guān)系是______;直線BF與直線AD的位置關(guān)系是______,并求證:FG+DC=AC;
(2)如果小華將兩塊三角板△ABC,△DBE如圖②所示擺放,使D、B、C三點(diǎn)在一條直線上,AC、DE的延長線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG∥BC,交直線AE于點(diǎn)G,連接AD,F(xiàn)B,則FG、DC、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是______;
(3)在(2)的條件下,若AG=,DC=5,將一個45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合,并繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),這個角的兩邊分別交線段FG于P、Q兩點(diǎn)(如圖③),線段DF分別與線段BQ、BP相交于M、N兩點(diǎn),若PG=2,求線段MN的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省南通市通州區(qū)初三年級模擬考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2010•通州區(qū)一模)小華用兩塊不全等的等腰直角三角形的三角板擺放圖形.
(1)如圖①所示△ABC,△DBE,兩直角邊交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG∥BC交AB于點(diǎn)G,連接BF、AD,則線段BF與線段AD的數(shù)量關(guān)系是______;直線BF與直線AD的位置關(guān)系是______,并求證:FG+DC=AC;
(2)如果小華將兩塊三角板△ABC,△DBE如圖②所示擺放,使D、B、C三點(diǎn)在一條直線上,AC、DE的延長線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG∥BC,交直線AE于點(diǎn)G,連接AD,F(xiàn)B,則FG、DC、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是______;
(3)在(2)的條件下,若AG=,DC=5,將一個45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合,并繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),這個角的兩邊分別交線段FG于P、Q兩點(diǎn)(如圖③),線段DF分別與線段BQ、BP相交于M、N兩點(diǎn),若PG=2,求線段MN的長.

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