Question

如圖，AB為半圓O的直徑，OC⊥AB交⊙O于C，P為BC延長線上一動點，D為AP中點，DE⊥PA，交半徑OC于E，連CD．下列結論：①PE⊥AE；②DC=DE；③∠OEA=∠APB；④PC+

2

CE為定值．其中正確結論的個數(shù)為（　　）

A．l個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

①如圖：∵點D是AP的中點，且DE⊥AP，∴DE是AP的垂直平分線，
又AB是半⊙O的直徑，OC⊥AB，∴OC是AB的垂直平分線，
∴點E是△ABP的外心，
∵∠ABC=45°，∴∠AEP=90°（同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半）
∴PE⊥AE，故①正確．
②∵AB是半⊙O的直徑，∴∠ACB=90°=∠ACP=∠AEP，
∴點C和點E在以點D為圓心的同一個圓上，∴DC=DE，故②正確．
③由①知點E是△ABP的外心，∴∠APB=

1

2

∠AEB=∠AEO，故③正確．
④在直角△APC中，PC=AP•cos∠APC=

2

AE•cos∠AE0=

2

AE•

OE

AE

=

2

OE，
∴PC+

2

CE=

2

OE+

2

CE=

2

（OE+CE）=

2

OC，
∴PC+

2

CE為定值，是⊙O半徑的

2

倍．故④正確．
故選D．