【題目】某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時,將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD(AB<BC)的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)(①→②→③),圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點.
(1)該學習小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①中(三角板一邊與CC重合),BN、CN、CD這三條線段之間存在一定的數(shù)量關系:CN2=BN2+CD2,請你對這名成員在圖①中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論說明理由;
(2)在圖③中(三角板一直角邊與OD重合),試探究圖③中BN、CN、CD這三條線段之間的數(shù)量關系,直接寫出你的結(jié)論.
(3)試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關系,寫出你的結(jié)論,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)BN2=NC2+CD2;(3)CM2+CN2=DM2+BN2,理由見解析.
【解析】
(1)連結(jié)AN,由矩形知AO=CO,∠ABN=90°,AB=CD,結(jié)合ON⊥AC得NA=NC,由∠ABN=90°知NA2=BN2+AB2,從而得證;
(2)連接DN,在Rt△CDN中,根據(jù)勾股定理可得:ND2=NC2+CD2,再根據(jù)ON垂直平分BD,可得:BN=DN,從而可證:BN2=NC2+CD2;
(3)延長MO交AB于點E,可證:△BEO≌△DMO,NE=NM,在Rt△BEN和Rt△MCN中,根據(jù)勾股定理和對應邊相等,可證:CN2+CM2=DM2+BN2.
(1)證明:連結(jié)AN,
∵矩形ABCD
∴AO=CO,∠ABN=90°,AB=CD,
∵ON⊥AC,
∴NA=NC,
∵∠ABN=90°,
∴NA2=BN2+AB2,
∴NC2=BN2+CD2.
(2)如圖2,連接DN.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴BO=DO,∠DCN=90°,
∵ON⊥BD,
∴NB=ND,
∵∠DCN=90°,
∴ND2=NC2+CD2,
∴BN2=NC2+CD2.
(3)CM2+CN2=DM2+BN2
理由如下:延長MO交AB于E,
∵矩形ABCD,
∴BO=DO,∠ABC=∠DCB=90°,AB∥CD,
∴∠ABO=∠CDO,∠BEO=∠DMO,
∴△BEO≌△DMO(ASA),
∴OE=OM,BE=DM,
∵MO⊥EM,
∴NE=NM,
∵∠ABC=∠DCB=90°,
∴NE2=BE2+BN2,NM2=CN2+CM2,
∴CN2+CM2=BE2+BN2,
即CN2+CM2=DM2+BN2.
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【題目】網(wǎng)上購買鞋子時,消費者需要根據(jù)自己腳的情況選擇合適的鞋碼,每個人千差萬別,我們常常會看到下面的表格幫助我們選購:
表1 腳長腳碼對應表
腳長(mm) | 220 | 225 | 230 | 235 | 240 | 245 | 250 | 255 | 260 | 265 |
鞋碼 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
其中腳長的測量方法是:將腳輕踏于白紙上,在腳趾最長處確定一點,在腳后跟確定一點,測量兩點之間的距離,如下圖所示
如果一名運動員的腳長是273mm,按上述腳長腳碼對應關系他應該穿_________碼的鞋子.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O、H分別為邊AB、AC的中點,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°到△A1BC1的位置,則整個旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積(即陰影部分面積)為_____.
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【題目】某校八年級同學參加社會實踐活動,到“廬江臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園”了解大棚蔬菜生長情況.他們分兩組對西紅柿的長勢進行觀察測量,分別收集到10株西紅柿的高度,記錄如下(單位:厘米)
第一組:32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
第二組:51 56 44 46 40 53 37 47 50 46
根據(jù)以上數(shù)據(jù),回答下列問題:
(1)第一組這10株西紅柿高度的平均數(shù)是 ,中位數(shù)是 ,眾數(shù)是 .
(2)小明同學計算出第一組方差為S12=122.2,請你計算第二組方差,并說明哪一組西紅柿長勢比較整齊.
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【題目】(1)如圖1,∠AOC=α,∠BOC=β,若OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,則∠MON= (用含α、β的式子表示);
(2)如圖2,若將∠BOC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到∠EOD,OM平分∠AOD,ON平分∠COE,求∠MON的度數(shù)(用含α、β的式子表示);
(3)若∠BOC旋轉(zhuǎn)90°至圖3的位置,其他條件不變,則∠MON的度數(shù)是 (用含α、β的式子表示).
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【題目】A、B兩輛汽車同時從相距330千米的甲、乙兩地相向而行,s(千米)表示汽車與甲地的距離,t(分)表示汽車行駛的時間,如圖,L1,L2分別表示兩輛汽車的s與t的關系.
(1)L1表示哪輛汽車到甲地的距離與行駛時間的關系?
(2)汽車B的速度是多少?
(3)求L1,L2分別表示的兩輛汽車的s與t的關系式.
(4)2小時后,兩車相距多少千米?
(5)行駛多長時間后,A、B兩車相遇?
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【題目】已知數(shù)軸上,點O為原點,點A對應的數(shù)為9,點B對應的數(shù)為b,點C在點B右側(cè),長度為2個單位的線段BC在數(shù)軸上移動.
(1)如圖,當線段BC在O、A兩點之間移動到某一位置時,恰好滿足線段AC=OB,求此時b的值;
(2)當線段BC在數(shù)軸上沿射線AO方向移動的過程中,若存在AC﹣OB=AB,求此時滿足條件的b的值;
(3)當線段BC在數(shù)軸上移動時,滿足關系式|AC﹣OB|=|AB﹣OC|,則此時b的取值范圍是
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【題目】“弘揚柳鄉(xiāng)工匠精神,共筑鄉(xiāng)村振興之夢”第三屆柳編文化節(jié)暨首屆“襄陽人游襄州”啟動儀式在浩然廣場舉行。為了迎接此次盛會,某工藝品廠柳編車間組織名工人趕制一批柳編工藝品,為了解每名工人的日均生產(chǎn)能力,隨機調(diào)查了某天每個工人的生產(chǎn)件數(shù),獲得數(shù)據(jù)如下表:
則這一天名工人生產(chǎn)件數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A. 件、件B. 件、件C. 件、件D. 件、件
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【題目】如圖1,點O為直線AB上一點,過點O作射線OC,使∠BOC=112°.將一直角三角板的直角頂點放在點O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部,且恰好平分∠BOC,問:直線ON是否平分∠AOC?請說明理由;
(2)將圖1中的三角板繞點O按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,第t秒時,直線ON恰好平分銳角∠AOC,則t的值為多少?
(3)將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在∠AOC的內(nèi)部,請?zhí)骄浚骸?/span>AOM與∠NOC之間的數(shù)量關系,并說明理由.
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