Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，四邊形OBHC為矩形，CH的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)D（5，2），連結(jié)BC、AD.

（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）將△BCH繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后 , 再沿x軸對(duì)折得到△BEF（點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線交AB邊于點(diǎn)P，交CD邊于點(diǎn)Q. 問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）∵四邊形OBHC為矩形，∴CD∥AB，

 又D（5，2），

 

∴C（0，2），OC=2 .

 ∴  

解得

∴拋物線的解析式為：

（2）點(diǎn)E落在拋物線上. 理由如下：

由y = 0，得.

解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）.

∴OA=4，OB=1.

由矩形性質(zhì)知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱性質(zhì)知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，－1）. 

把x=3代入，得，

∴點(diǎn)E在拋物線上.

（3）法一：存在點(diǎn)P（a，0），延長(zhǎng)EF交CD于點(diǎn)G，易求OF=CG=3，PB=a－1.

S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，記S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，

下面分兩種情形：

①當(dāng)S1∶S2 =1∶3時(shí)，，

此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的左側(cè)，則PF = 3－a，

由△EPF∽△EQG，得，則QG=9－3a，

∴CQ=3－(9－3a) =3a －6

由S1=2，得，解得；

②當(dāng)S1∶S2=3∶1時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的右側(cè)，則PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，

由S1= 6，得，

解得.

綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）

法二：存在點(diǎn)P（a，0）. 記S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.

當(dāng)PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（3，0）時(shí)，易求S₁=5，S₂ = 3，

此時(shí)S₁∶S₂不符合條件，故a≠3.

設(shè)直線PQ的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，

解得，

∴. 由y = 2得x = 3a－6，

∴Q（3a－6，2）

∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.

下面分兩種情形：

①當(dāng)S1∶S2 = 1∶3時(shí)，= 2；

∴4a－7 = 2，解得；

②當(dāng)S1∶S2 = 3∶1時(shí)，；

∴4a－7 = 6，解得；

綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）