Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=2

2

，D為斜邊BC上的一點(diǎn)（D與B、C均不重合），連接AD，把△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，連接DE，設(shè)BD=x．
（1）求證∠DCE=90°；
（2）當(dāng)△DCE的面積為1.5時(shí)，求x的值；
（3）試問(wèn)：△DCE的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí)x的取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，得到∠ABD與∠ACE相等，進(jìn)而得到∠ACE+∠ACD=90°即證得；
（2）由直角三角形到△ACE≌△ABD，從而得直角三角形的面積公式而解得；
（3）通過(guò)函數(shù)式的判斷來(lái)得到．

解答：解：（1）∵△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ABD=∠ACE，（2分）
又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC為斜邊，
∴∠ABD+∠ACD=90°，（3分）
∴∠ACE+∠ACD=90°，
即：∠DCE=90°；（5分）

（2）∵AC=AB=2

2

，
∴BC²=AC²+AB²=(2

2

)2+(2

2

)2=16，
∴BC=4．（6分）
∵△ACE≌△ABD，∠DCE=90°，
∴CE=BD=x，而BC=4，
∴DC=4-x，
∴Rt△DCE的面積為：

1

2

DC•CE=

1

2

（4-x）x．
∴

1

2

（4-x）x=1.5，（8分）
即x²-4x+3=0．
解得x=1或x=3．（10分）

（3）△DCE存在最大值．（11分）
理由如下：設(shè)△DCE的面積為y，于是得y與x的函數(shù)關(guān)系式為：
y=

1

2

（4-x）x（0＜x＜4），（12分）
=-

1

2

（x-2）²+2，
∵a=-

1

2

＜0，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y有最大值2．（13分）
又∵x滿足關(guān)系式0＜x＜4，
故當(dāng)x=2時(shí)，△DCE的最大面積為2．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，及一元二次方程、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，運(yùn)算求解等能力和創(chuàng)新意識(shí)等．