【題目】已知:如圖(1),直線AB∥CD,EF分別交AB、CD于E、F兩點(diǎn),∠BEF、∠DFE的平分線相交于點(diǎn)K.(1)求∠EKF的度數(shù).(計(jì)算過程不準(zhǔn)用三角形內(nèi)角和)(2)如圖(2),∠BEK、∠DFK的平分線相交于點(diǎn)K1,問∠K1與∠K的度數(shù)是否存在某種特定的等量關(guān)系?寫出結(jié)論并證明.(3)在圖2中作∠BEK1、∠DFK1的平分線相交于點(diǎn)K2,作∠BEK2、∠DFK2的平分線相交于點(diǎn)K3,依此類推,作∠BEKn、∠DFKn的平分線相交于點(diǎn)Kn+1,請(qǐng)用含的n式子表示∠Kn+1的度數(shù).(直接寫出答案,不必寫解答過程)
【答案】(1)∠EKF=90°;(2)∠K=2∠K1理由見解析;(3)歸納總結(jié)得:∠Kn+1= ×90°.
【解析】試題分析:(1)過K作KG∥AB,可得KG∥CD,可得出兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,由EK與FK分別為角平平分線,利用角平分線定義得到兩對(duì)角相等,再由AB與CD平行,利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到兩對(duì)角互補(bǔ),利用等式的性質(zhì)求出∠BKE+∠DFK的度數(shù),即可求出∠EKF的度數(shù);(2)∠K=2∠K1,由∠BEK、∠DFK的平分線相交于點(diǎn)K1,利用角平分線定義得到兩對(duì)角相等,等量代換求出∠K1,進(jìn)而確定出兩角的關(guān)系;(3)依此類推即可確定出∠Kn+1的度數(shù);
試題解析:
(1)過K作KG∥AB,可得KG∥CD,如圖所示:
∴∠BEK=∠EKG,∠GKF=∠KFD,
∵EK、FK分別為∠BEF與∠EFD的平分線,
∴∠BEK=∠FEK,∠EFK=∠DFK,
∵AB∥CD,
∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK=180°,即2(∠BEK+∠DFK)=180°,
∴∠BEK+∠DFK=90°,則∠EKF=∠EKG+∠GKF=90°;
(2)∠K=2∠K1,理由為:
∵∠BEK、∠DFK的平分線相交于點(diǎn)K1,
∴∠BEK1=∠KEK1,∠KFK1=∠DFK1,
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK=180°,即2(∠BEK+∠KFD)=180°,
∴∠BEK+∠KFD=90°,即∠KEK1+∠KFK1=45°,
∴∠K1=180°-(∠KEF+∠EFK)-(∠KEK1+∠KFK1)=45°,則∠K=2∠K1;
(3)歸納總結(jié)得:∠Kn+1= ×90°。
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