Question

【題目】如圖，以BC為直徑的⊙O交△CFB的邊CF于點A，BM平分∠ABC交AC于點M，AD⊥BC于點D，AD交BM于點N，ME⊥BC于點E，AB2=AF·AC，cos∠ABD=，AD=12．

（1）求證：△ABF∽△ACB；

（2）求證：FB是⊙O的切線；

（3）證明四邊形AMEN是菱形，并求該菱形的面積S．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析，45

【解析】

（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠BAC=90°，從而得出∠BAF=∠BAC=90°，最后根據(jù)相似三角形的判定定理即可證出結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠ABF=∠C，然后利用等量代入可得∠FBC=∠ABC+∠ABF=90°，從而證出結(jié)論；

（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得MA=ME，利用SAS即可證出△AMN≌△EMN，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和等角對等邊可證AN=NE=EM=MA，從而證出四邊形AMEN是菱形，然后利用銳角三角函數(shù)和勾股定理即可求出BD、AD和AB，從而求出DE，然后證出△BND∽△BME，列出比例式即可求出ME，從而求出結(jié)論．

（1）證明：BC為⊙O的直徑

∠BAC=90°

∠BAF=∠BAC=90°

又AB2=AF·AC

△ABF∽△ACB

（2）證明：

△ABF∽△ACB

∠ABF=∠C

又∠ABC+∠C=90°

∠FBC=∠ABC+∠ABF=90°

BF是⊙O的切線

（3）證明：ME⊥BC，MA⊥AB，BM平分∠ABC

MA=ME

∠AMN=90°－∠ABM=90°－∠EBM=∠EMN

∴AB=BE

∵NM=NM

△AMN≌△EMN

AN=NE

又AD⊥BC，ME⊥BC，

ME∥AD，

∠ANM=∠EMN，

∠ANM=∠AMN

AN=AM

AN=NE=EM=MA，

四邊形AMEN是菱形．

cos∠ABD=，∠ADB=90°

設(shè)BD=3x，則AB=5x，AD=

又AD=12，

x=3，

BD=9，AB=15，

BE=BA=15

DE=BE-BD=6

ND∥ME，

∠BND=∠BME

△BND∽△BME

設(shè)ME=y，則ND=12-y，

，

解得y=

S=