24、(1)如圖1,△ABC和△ADE均為頂角為α的等腰三角形,連接BD、CE,BD與CE、AC分別交于點O、點P.通過觀察或測量,猜想:
①線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系為
相等

②BD和CE之間的夾角∠BOC=
α

(2)現(xiàn)將圖1中的△ADE繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)一個角度,得到圖2,BD的延長線與CE的延長線交于點O,與AC交于點P,問(1)中猜想的結(jié)論還成立嗎?若成立,予以證明;若不成立,說明理由.
分析:(1)由△ABC和△ADE均為頂角為α的等腰三角形,易證得∠BAD=∠CAE,又由AB=AC,AD=AE,根據(jù)SAS即可證得△BAD≌△CAE,即可證得BD=CE,∠ABD=∠ACE,繼而可證得∠BOC=α;
(2)方法同(1),首先利用SAS證得△BAD≌△CAE,由全等三角形的性質(zhì),即可證得結(jié)論正確.
解答:解:(1)①相等;②α.
證明:∵△ABC和△ADE均為頂角為α的等腰三角形,
∴∠BAD=α+∠CAD,∠CAE=α+∠CAD,AB=AC,AD=AE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
∵∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠OBC+∠ACB=∠ACE+∠OBC+∠ACB=∠OBC+∠OCB=180°-α,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=α;

(2)成立.
證明:∵△ABC和△ADE均為頂角為α的等腰三角形,
∴∠BAD=α-∠CAD,∠CAE=α-∠CAD,AB=AC,AD=AE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
∵∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠OBC+∠ACB=∠ACE+∠OBC+∠ACB=∠OBC+∠OCB=180°-α,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=α.
點評:此題考查了等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).此題綜合性較強(qiáng),難度適中,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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