Question

【題目】在△ABC中，∠AOB=90°，AO=BO，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：CD=AC+BD；

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：CD=AC﹣BD；

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問：CD、AC、BD有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）CD=BD﹣AC，證明見解析．

【解析】試題分析：（1）通過(guò)證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC+BD；

（2）通過(guò)證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC-BD；

（3）通過(guò)證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=BD-AC．

試題解析：（1）如圖1，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=AC+BD；

（2）如圖2，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD．

（3）如圖3，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC，

即CD=BD﹣AC．