Question

（2006•連云港）如圖，直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點A、B，點C（1，a）是直線與雙曲線y=的一個交點，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，且△BCD的面積為1．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）若在y軸上有一點E，使得以E、A、B為頂點的三角形與△BCD相似，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線y=kx+2與y軸交于B點，則OB=2；由C（1，a）及△BCD的面積為1可得BD=2，所以a=4，即C（1，4），分別代入兩個函數關系式中求解析式；
（2）根據△BAE∽△BCD、△BEA∽△BCD兩種情形求解．
解答：解：（1）∵CD=1，△BCD的面積為1，
∴BD=2
∵直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴當x=0時，y=2，
∴點B坐標為（0，2）．
∴點D坐標為（O，4），
∴a=4．
∴C（1，4）
∴所求的雙曲線解析式為y=．

（2）因為直線y=kx+2過C點，
所以有4=k+2，k=2，
直線解析式為y=2x+2．
∴點A坐標為（-1，0），B（0，2），
∴AB=，BC=，
當△BAE∽△BCD時，此時點E與點O重合，點E坐標為（O，0）；
當△BEA∽△BCD時，，
∴，
∴BE=，
∴OE=，
此時點E坐標為（0，-）．
點評：本題考查了反比例函數的綜合應用，關鍵是求交點C的坐標以及相似形中的分類討論思想，搞清楚對應關系．