Question

【題目】（定義新知）在數(shù)軸上，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別表示數(shù)x1和x2 ，可以用絕對(duì)值表示點(diǎn)M、N兩點(diǎn)間的距離d (M，N)，即d (M，N)＝|x1－x2|．

（初步應(yīng)用）

（1）在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、C分別表示數(shù)－1、2、x， 解答下列問(wèn)題：

①d (A，B)＝ ；

②若d(A，C)＝2，則x的值為 ；

③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x為整數(shù)，則x的取值有 個(gè)．

（綜合應(yīng)用）

（2）在數(shù)軸上，點(diǎn)D、E、F分別表示數(shù)－2、4、6．動(dòng)點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸從點(diǎn)D開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到達(dá)F點(diǎn)后立刻返回，再回到D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在此過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度始終保持每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①當(dāng)t＝ 時(shí)，d(D，P)＝3；

②在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示d(E，P)．

Answer 1

【答案】(1)①3；②1或－3；③4；(2)① t＝1.5或6.5；②當(dāng)0＜t≤4時(shí)，d(E，P) ＝|6－2t|，當(dāng)4＜t≤8時(shí)，d(E，P) ＝|2t－10|

【解析】

（1）①根據(jù)題意，d (A，B)表示A、B兩點(diǎn)之間的距離，A、B表示的數(shù)代入計(jì)算即可；

②根據(jù)d(A，C)＝2，列方程求解即可；

③根據(jù)d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，列出方程，分情況討論，再根據(jù)x為整數(shù)判斷即可；

（2）①先計(jì)算出點(diǎn)P從D到F的時(shí)間，然后進(jìn)行分情況討論，分別求出點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的數(shù)，再列方程求解即可；

②根據(jù)①中求出的點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的數(shù)，進(jìn)行列式即可.

解：（1）①d (A，B)=|－1－2|=3；

②∵d(A，C)＝2，

∴|－1－x|=2，即－1－x=2或－1－x=－2；

∴x=－3或1；

③∵d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，

∴|－1－x|+|2－x|=3，

當(dāng)時(shí)，|－1－x|+|2－x|=－1－x+2－x=3，x=－1，

當(dāng)時(shí)，|－1－x|+|2－x|=1+x+2－x=3，x取0、1、2，

當(dāng)時(shí)，|－1－x|+|2－x|=1+x+x－2=3，x=2，

綜上所述，x的取值有4個(gè)；

（2）由題可得，d(D，F) =8，點(diǎn)P從D到F的時(shí)間為4秒，運(yùn)動(dòng)路程為2t，

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為2t－2，則

d(D，P)＝|－2－(2t－2)|=3，解得t=或（舍去），

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為14－2t，則

d(D，P)＝|－2－(14－2t)|=3，解得t=（舍去）或，

綜上所述，t＝1.5或6.5；

② 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為2t－2，則d(E，P)=|4－(2t－2)|=|6－2t|，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為14－2t，則d(E，P)=|4－(14－2t)|=|2t－10|.

另解：

當(dāng)0＜t≤3時(shí)，d(E，P) ＝6－2t，

當(dāng)3＜t≤4時(shí)，d(E，P) ＝2t－6，

當(dāng)4＜t≤5時(shí)，d(E，P) ＝10－2t，

當(dāng)5＜t≤8時(shí)，d(E，P) ＝2t－10.